Теорема века. Мир с точки зрения математики

Можно стать еще на третью точку зрения, которая имеет меньшее значение, чем предыдущие, и на которой я буду менее настаивать. Когда хотят предсказать какой-либо факт и исследуют подготавливающие его обстоятельства, стараются получить сведения о предшествующем состоянии. Но этого ведь нельзя сделать по отношению ко всей Вселенной. Мы ограничиваемся поэтому местами, соседними с пунктом, где наше явление должно произойти, и тем, что, по-видимому, имеет связь с этим явлением. Выяснение обстоятельств не может быть полным, и нужно уметь сделать выбор. Но при таких условиях легко может случиться, что мы оставили в стороне такого рода факты, которые на первый взгляд казались совершенно чуждыми предусматриваемому явлению, которым нам даже в голову не приходило приписать какое-либо влияние на это явление и которые тем не менее, помимо нашего предвидения, играют здесь важную роль.

Человек проходит по улице, отправляясь по своим делам. Лицо, которое было бы в курсе этих дел, могло бы сказать, почему он прошел в таком-то часу по такой-то улице. На крыше работает кровельщик; подрядчик, который его нанял, вероятно, в известной мере мог бы предвидеть, что он там делает. Но прохожий, о котором была речь выше, не думает вовсе о кровельщике, как и кровельщик не думает о прохожем. Они принадлежат точно двум совершенно отдельным мирам; и тем не менее кровельщик уронил черепицу, которая убила прохожего. Мы, не колеблясь, скажем, что это дело случая.

Наши слабые силы не дают нам возможности охватить всей Вселенной, и это заставляет нас разрезать ее на слои. Мы стараемся выполнить это наименее искусственно, и тем не менее иногда оказывается, что два различных слоя влияют один на другой. Результаты такого взаимодействия мы склонны приписывать случаю.

Есть ли это особая третья точка зрения на случайность? Не всегда; в большей части случаев мы здесь возвращаемся к первой или ко второй точке зрения. Если два мира, вообще совершенно отличные один от другого, оказывают иногда друг на друга влияние, то законы этого взаимодействия неизбежно должны быть весьма сложны; а с другой стороны, достаточно весьма слабого изменения в начальных условиях, и взаимодействие между этими двумя мирами не имело бы места. Как мало было бы нужно, чтобы прохожий прошел на одну секунду раньше или чтобы кровельщик уронил свою черепицу на одну секунду позже.

VI

Все изложенное до сих пор еще не объясняет, почему случай повинуется законам. Достаточно ли, чтобы причины были незначительны или чтобы они были сложны, для того чтобы мы могли уже предвидеть если не результаты каждого случая, то по крайней мере средние результаты. Чтобы ответить на этот вопрос, лучше всего обратиться к одному из приведенных уже выше примеров.

Я начну с рулетки. Я сказал, что точка, на которой остановится игла, будет зависеть от начального толчка, который ей дан. Какова вероятность того, что этот толчок будет иметь ту или другую величину? Я об этом ничего не знаю, но мне трудно не допустить, что эта вероятность выражается непрерывной аналитической функцией. Тогда вероятность того, что толчок содержится между а и а + ε, будет практически такая же, как и вероятность того, что он заключен между а + ε и а + 2ε, лишь бы ε было очень мало. Это общее свойство всех аналитических функций: небольшие изменения функций будут пропорциональны небольшим изменениям переменных.

Но, как мы предположили, весьма малого изменения силы толчка будет достаточно для изменения цвета сектора, перед которым в конце концов остановится игла. При интервале от а до а + ε это будет красный сектор, при интервале от а + ε до a + 2ε это будет черный сектор. Вероятность каждого красного сектора такая же, как и вероятность следующего за ним черного, и общая вероятность красного та же, что и общая вероятность черного.

Данной в этой задаче является аналитическая функция, которая выражает вероятность определенного начального толчка. Но теорема остается справедливой, каково бы ни было это данное, так как она зависит от свойства, общего всем аналитическим функциям. Отсюда следует, что в конечном результате данное нам вовсе не нужно.

То, что мы сказали о рулетке, применяется также к примеру малых планет. Мы можем смотреть на зодиак как на громадную рулетку, по которой Творец разбросал большое число шариков, сообщив им различные начальные скорости, меняющиеся согласно закону, вообще говоря, произвольному. В настоящее время они распределены равномерно, независимо от этого закона, по той же причине, что и в предыдущем случае. Мы видим также, почему явления повинуются законам случая, когда незначительные разницы в причинах способны вызвать большие различия в результатах. Вероятности этих малых разностей мы можем в этом случае считать пропорциональными самим разностям именно потому, что эти разности очень малы, и незначительные приращения непрерывной функции пропорциональны приращениям переменной.