Теорема века. Мир с точки зрения математики

Я не знаю, нужно ли приводить примеры. Однако мы приведем некоторые, и прежде всего мы остановимся на определении дробей, которое даст нам крайний пример. В начальных школах, чтобы определить дробь, разрезают яблоко или пирог; конечно, разрезание происходит в уме, а не в действительности, ибо я не думаю, чтобы бюджет начальной школы позволял такую расточительность. В высшей нормальной школе или на факультетах, напротив, скажут: дробь – это совокупность двух целых чисел, разделенных горизонтальной чертой; определят при помощи соглашений те операции, которым можно подвергать эти символы; докажут, что правила для этих операций те же, какие употребляются в исчислении целых чисел и, наконец, обнаружат, что, умножая, согласно этим правилам, дробь на знаменатель, мы находим числитель. Такое определение будет здесь уместным, потому что его преподносят молодым людям, которые уже давно освоились с понятием о дробях – они уже делили яблоки и другие предметы; ум которых уже изощрен математической эрудицией; которые хотят, наконец, получить чисто логическое определение. Но как был бы ошеломлен начинающий, к которому подошли бы с подобным определением.

Таковы же определения, которые вы найдете в удивительной и несколько раз премированной книге Гильберта «Основания геометрии». Посмотрим, как он начинает: вообразим три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями. Что это за «вещи» – мы не знаем, да и незачем нам это знать. Было бы даже греховно стараться это узнать. Все, на что мы можем претендовать, сводится к тому, чтобы мы усвоили относящиеся к ним аксиомы, например следующую: две различные точки всегда определяют прямую, и комментарий к ней: вместо «определяют» мы можем сказать, что прямая проходит через две точки, или соединяет эти две точки, или что две точки расположены на прямой. Значит, фраза «точки расположены на прямой» является просто синонимом фразы «точки определяют прямую». Вот книга, которую я очень высоко ценю, но которую я не рекомендую лицеисту. Впрочем, я мог бы это сделать без опаски, так как в чтении ее он ушел бы не очень далеко.

Я взял крайние примеры; никакой преподаватель, конечно, не предложил бы таких определений. Но разве не остается такая же опасность и тогда, когда мы стоим ближе к действительности?

Вот в четвертом классе. Преподаватель диктует: «окружность – это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром». Хороший ученик вписывает эту фразу в свою тетрадь; плохой ученик рисует в ней «человечков», но ни тот, ни другой ничего не поняли. Тогда преподаватель берет мел и рисует круг на доске. «Ага, – думают ученики, – почему он не сказал сразу: окружность – это кружок, и мы бы сразу поняли». Без сомнения, преподаватель прав. Определение учеников не имело бы никакой ценности, потому что не могло бы служить ни для какого доказательства, и в особенности не привило бы им спасительной привычки анализировать свои понятия. Но им надобно было бы доказать, что они не понимают того, что им кажется понятным, надобно было бы заставить их отдать себе отчет в грубости их первоначального представления, сделать так, чтобы они сами пожелали очистить и улучшить это представление.

4. Я еще вернусь ко всем этим примерам. Я хотел лишь показать вам две противоположные идеи: между ними имеется самый резкий контраст, причина которого нам раскрывается историей науки. Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишенными логической строгости.

В ту эпоху допускали, что непрерывная функция не может изменить знак, не проходя через нуль; теперь это доказывают. Допускали, что обыкновенные правила счисления приложимы к несоизмеримым числам, теперь это доказывают. Допускали еще и другие вещи, которые порою оказывались ложными.

Доверялись интуиции. Но интуиция не может дать ни строгости суждений, ни уверенности в их правильности, в этом убеждались все более и более. Интуиция, например, учит нас, что всякая кривая имеет касательную, т. е. что каждая непрерывная функция имеет производную, и однако это положение ложно. А так как знание стремилось к уверенности, то приходилось все более и более ограничивать роль интуиции. Каким образом свершилась эта необходимая эволюция? Вскоре было замечено, что рассуждения лишь тогда приобретут строго доказательную силу, когда эта строгость будет предварительно внесена в определения.

Объекты, которыми занимаются математики, долгое время не имели хороших определений; эти предметы казались известными потому, что их себе представляли при помощи чувств или воображения; но в действительности их образы отличались грубостью; не было точных идей, на которые могли бы опереться доказательства. Вот в эту сторону логики вынуждены были направить свои усилия. Примером могут служить несоизмеримые числа.