Теоретическая механика в приложении к астрономии

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенных к концам жёстких стержней, весом которых можно пренебречь, причём известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной

аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.2, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейна (рис. 1.2, б).

Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.

Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое – две силы F₁ и F₂ (рис. 1.4), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т.е. эквивалентны одной силе

второе – аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Другими словами, равнодействующую R можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с F₁ и F₂.

Модуль равнодействующей определится равенством

где – угол между данными векторами F₁ и F₂.

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твёрдым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частности, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т.д. составляющие, т.е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составляют систему, для которой сила R будет равнодействующей (рис. 1.4). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу R, и с рёбрами, направленными по этим прямым (рис. 1.5).

Аксиома 4 (3-ий закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.

Если тело I действует на тело II с силой P, а тело II действует на тело I с силой F (рис. 1.6), то эти силы равны по модулю (F=P) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. F=-P.

Если обозначить через F силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой -F.

неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвёртой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но её направление будет противоположно силе T. На рис. 1.7 показано тело, движущееся вправо; сила трения T приложена к движущемуся телу, а сила T^'=-T – к плоскости.

причём эти силы взаимодействия определяются заданными силами F₁ и F₂.

Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела A (рис. 1.8, б) должно быть

а значит, .

Точно так же из условия равновесия тела B (рис. 1.8, в) следует

т.е.

Аксиома 5. Равновесие деформированного тела не нарушится, если жёстко связать его точки и считать тело абсолютно твёрдым.