Теория катастроф

В соответствии с общей стратегией Пуанкаре (см. п. 5) мы ограничимся семействами систем, зависящих от параметров общим образом. Оказывается, граница устойчивости может иметь особенности, которые не исчезают при малом шевелении семейства.

На рис. 30 изображены все особенности границы устойчивости положений равновесия в общих двупараметрических семействах эволюционных систем (с фазовым пространством любой размерности), на рис. 31 — в трехпараметрических. Формулы на рисунках описывают область устойчивости (при подходящем выборе координат на плоскости или в пространстве параметров, вообще говоря, криволинейных).

Рис. 31. Типичные особенности границ трехмерных областей устойчивости

Заметим, что область устойчивости во всех случаях располагается "углами наружу", вклиниваясь "зияющими вершинами" в область неустойчивости. Таким образом, для системы, принадлежащей особой части границы устойчивости, при малом изменении параметров более вероятно попадание в область неустойчивости, чем в область устойчивости. Это проявление общего принципа, согласно которому все хорошее (например, устойчивость) более хрупко, чем плохое.

По-видимому, все хорошие объекты удовлетворяют нескольким требованиям одновременно, плохим же считается объект, обладающий хотя бы одним из ряда недостатков.

В случае четырех параметров к перечисленным выше особенностям границы добавляются еще две.

При увеличении числа параметров число типов особенностей границы устойчивости семейства общего положения быстро растет, однако, как доказал Л. В. Левантовский, оно остается конечным (с точностью до гладких замен параметров) при любом конечном числе параметров, сохраняется и принцип хрупкости.

8. Каустики, волновые фронты и их метаморфозы

Один из наиболее важных выводов теории особенностей состоит в универсальности нескольких простых образов вроде складки, сборки и точки возврата, которые должны встречаться повсеместно и которые полезно научиться распознавать. Кроме перечисленных особенностей, часто встречаются еще несколько образов, которые также получили собственные имена: "ласточкин хвост", "пирамида", "кошелек" и др.

Пусть в какой-либо среде распространяется некоторое возмущение (например, ударная волна, свет или эпидемия).

Для простоты начнем с плоского случая. Допустим, в начальный момент времени возмущение имелось на кривой а (рис. 32), и пусть скорость его распространения равна 1. Чтобы узнать, где будет возмущение через время t, нужно отложить по каждой нормали к кривой отрезок длины t. Получающаяся кривая называется волновым фронтом.

Рис. 32. Эволюция волнового фронта

Даже если начальный волновой фронт не имел особенностей, через некоторое время особенности начнут возникать. Например, при распространении возмущения внутрь эллипса, возникают особенности, изображенные на рис. 33. Эти особенности устойчивы (неустранимы малым шевелением начального фронта). Для гладкого начального фронта общего положения с течением времени будут образовываться лишь стандартные особенности такого же типа.

Рис. 33. Особенности эквидистант эллипса

Все иные особенности (например, особенность в центре сжимающейся окружности) при малом шевелении начального фронта рассыпаются на несколько особенностей стандартного вида.

В трехмерном пространстве на гладком волновом фронте общего положения с течением времени возникают лишь ребра возврата и стандартные особенности типа "ласточкин хвост", изображенные на рис. 34 (попытайтесь разобраться в особенностях фронта, распространяющегося внутрь трехосного эллипсоида).

Рис. 34. Ласточкин хвост

Все более сложные особенности при малом шевелении фронта рассыпаются на соединенные ребрами возврата и линиями самопересечения ласточкины хвосты.

Ласточкин хвост можно определить как множество всех точек (а, b, с), таких, что многочлен х₃ + ах₂ + bх + с имеет кратный корень. У этой поверхности есть ребро возврата (В на рис. 34) и линия самопересечения (С на рис. 34).

Ласточкин хвост можно получить из пространственной кривой А = t², В = t³, С = t⁴: он образован всеми ее касательными.

Рассмотрим пересечения ласточкиного хвоста параллельными плоскостями общего положения (см. рис. 35).

Эти пересечения являются плоскими кривыми, При поступательном движении плоскости указанные кривые перестраиваются в момент, когда плоскость проходит через вершину хвоста. Перестройка (метаморфоза), происходящая при этом, в точности такая же, как метаморфоза волнового фронта на плоскости (например, при распространении возмущения внутрь эллипса).

Рис. 35. Типичная перестройка волнового фронта на плоскости