Теория катастроф

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает сопротивление, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение неспособна.

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.

Наполеон критиковал Лапласа за "попытку ввести в управление дух бесконечно малых". Математическая теория перестроек — это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно.

Не требуется, однако, специальной математической теории, чтобы понять, что пренебрежение законами природы и общества (будь то закон тяготения, закон стоимости или необходимость обратной связи), падение компетентности специалистов и отсутствие личной ответственности за принимаемые решения приводит рано или поздно к катастрофе.

Задачи

К разделу 1

(здесь и далее переменная z — комплексная, х и у вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z → z², z → z² + εz.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) → (х² + ау, у² + bх)

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х = -х³ + х + а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = εz — z²z + Az³, где A — фиксированное комплексное число, а комплексное число ε обходит вокруг нуля,

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х⁵ + ... с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через а_n число типов многочленов хⁿ⁺¹ +... с n различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а⁴) и составим функцию р (t) = Σa_ntⁿ/n!. Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что a_n выражаются через числа Бернулли при нечетных n и через числа Эйлера — при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов х⁵ + ... область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и независимых переменных (х, у) функция приводится к виду u = х² + у².

9. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции n переменных в критической точке — невырожденная квадратичная форма. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и n независимых переменных (х, у) функция приводится к виду и = х²₁ + . . . + х²_k — у²₁ — . . . — y²₁, k + l = n.

10. Докажите, что в критической точке аналитической функции двух переменных исчезают, как правило, 6 (комплексных) точек перегиба линии уровня,

К разделу 2

11. Сколько точек сборки имеет отображение z → z² + εz?

12. Имеют ли точки сборки отображение (х, у) → (х² + ау, у² + bх)?

13. Докажите, что число точек сборки отображения (общего положения) сферы на плоскость четно.

14. Пусть на сфере дана функция, интеграл которой по сфере равен нулю и для которой нуль — не критическое значение. Существует ли гладкое отображение сферы на плоскость, все особенности которого — складки и которое имеет якобианом данную функцию?

15. Докажите, что отображение сферы на плоскость, все критические точки которого — складки и сборки, может иметь линией критических точек любую (непустую) гладкую кривую на сфере.