Теория катастроф

Н₄ — это группа симметрий правильного 600-гранника в четырехмерном евклидовом пространстве. Чтобы описать этот многогранник, начнем с группы вращений икосаэдра. При двулистном накрытии SU(2) → SO(3) эта группа из 60 вращений накрывается "бинарной группой икосаэдра" из 120 элементов. Группа SU(2) естественно изометрична трехмерной сфере, и 120 элементов бинарной группы образуют набор вершин искомого правильного многогранника в четырехмерном пространстве.

Рис. 84. Каустика группы F4 — типичная особенность фокального множества поверхности с краем

Рассмотрим теперь задачу об обходе препятствия в трехмерном пространстве. График (многозначной) функции времени является гиперповерхностью в четырехмерном пространстве-времени. Для задачи об обходе препятствия общего положения эта гиперповерхность локально диффеоморфна многообразию нерегулярных орбит группы Н₄ в некоторой точке. А именно, нужная точка лежит на касательной к геодезической на поверхности препятствия, имеющей в параболической точке касания асимптотическое для поверхности направление (О. П. Щербак, 1984).

Добавление. Предшественники теории катастроф

Сначала мысль, воплощена

В поэму сжатую поэта,

Как дева юная, темна

Для невнимательного света;

Потом, осмелившись, она

Уже увертлива, речиста,

Со всех сторон своих видна,

Как искушенная жена

В свободной прозе романиста;

Болтунья старая, затем

Она, подъемля крик нахальный,

Плодит в полемике журнальной

Давно уж ведомое всем.

Е. Баратынский

Не претендуя на полноту, я приведу здесь несколько ярких работ, авторы которых рассматривали особенности, бифуркации и катастрофы в системах общего положения, возникающих в различных областях знания.

Каустики встречаются уже у Леонардо да Винчи, название им дал Чирнгаузен.

В 1654 г. Гюйгенс построил теорию эволют и эвольвент плоских кривых, обнаружив одновременно устойчивость точек возврата на каустиках и волновых фронтах (т. е. сборок соответствующих отображений). Перестройки фронтов на плоскости исследовались Лопиталем (около 1700 г.) и Кэли в 1868 г.

Гамильтон в 1837 — 1838 г. применил исследование критических точек семейств функций к изучению особенностей систем лучей в геометрической оптике, вроде конической рефракции и двойного лучепреломления.

Якоби в лекциях по динамике (1866) исследовал каустики системы геодезических эллипсоида, выходящих из одной точки, и обнаружил устойчивость точек возврата на каустиках.

Алгебраические геометры прошлого века хорошо знали типичные особенности кривых (Плюккер) и поверхностей (Сальмон), двойственных гладким. Ласточкин хвост подробно описан Кронекером (1878) и входил в учебники алгебры (Вебер, 1898); его можно найти в каталоге гипсовых поверхностей (Бриль, 1892), имеющихся в кабинетах геометрии старых университетов.

Типичные особенности отображений поверхностей в трехмерное пространство (зонтик Уитни, z² = ху², половина которого изображена выше, на рис. 31) исследованы Кэли в 1852 г. Кэли изучал также геометрию семейства эквидистант и каустику трехосного эллипсоида — тем самым "кошелек", изображенный выше, на рис. 39, в. Он явно сформулировал задачу о топологии семейств линий уровня гладкой функции общего положения (1868) и исследовал бифуркации в некоторых типичных трехпараметрических семействах функций двух переменных.

Алгебраические аналоги теорем трансверсальности теории особенностей систематически использовались алгебраическими геометрами, особенно итальянской школы (Бертини, 1882 и др.).

Пуанкаре далеко развил теорию бифуркаций (включая более сложные, чем "бифуркация Хопфа" случаи) в своей диссертации и в "Новых методах небесной механики" (т. I, п. 37, п. 51; т. III, гл. 28 и т. п.).

К сожалению, бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. Пуанкаре сказал бы: "прямая делит плоскость на две полуплоскости" там, где современные математики пишуа просто: "множество классов эквивалентности дополнения [R² \ R¹ к прямой R¹ на плоскости R², определяемых следующим отношением эквивалентности: две точки А, В ∈ R² \ R¹ считаются эквивалентными, если соединяющий их отрезок АВ не пересекает прямую R¹, состоит из двух элементов" (цитирую по памяти из школьного учебника).

В книге "Математическое наследство Пуанкаре", изданной Американским математическим обществом, написано даже, что Пуанкаре не знал, что такое многообразие. В действительности определение (вещественного) гладкого многообразия в Analysis Situs Пуанкаре подробно изложено. В современных терминах оно таково: многообразием называется подмногообразие евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма.