Теория катастроф

Мы вывели, таким образом (для функций двух переменных), "формулу Пикара — Лефшеца", основную в комплексной теории критических точек функций. При переходе к функциям любого числа n переменных исчезающий цикл становится сферой размерности n — 1, а цилиндр — множеством всех его касательных векторов. Если число переменных n нечетно, то монодромия действует на классы циклов как отражение в зеркале, ортогональном исчезающему циклу (сам он при монодромии меняет знак).

Сложные критические точки функций при общих малых шевелениях распадаются на простейшие. В результате общего малого шевеления возникает несколько критических значении и около каждого из них — по исчезающему циклу. Обход каждого из критических значений определяет преобразование монодромии. Подход от некритического исходного значения к каждому критическому значению по некритическому пути переносит исчезающий цикл в многообразие исходного неособого уровня пошевеленной функции. В результате там возникает целый набор исчезающих циклов.

Например, неособая комплексная линия уровня функции х³ + у² — это тор без одной точки. Малое шевеление х³ — εх + у² имеет два критических значения (рис. 80). Подход к ним от некритической комплексной линии уровня определяет на этом торе два исчезающих цикла: параллель и меридиан тора. Точно так же на поверхности уровня функции х³ + у² + z² лежат две исчезающих сферы, пересекающиеся в одной точке. Соответствующие им преобразования монодромии — отражения пространства классов циклов в ортогональных исчезающим циклам зеркалах.

Рис. 80. Исчезающие циклы функции х³ + у²

Таким образом, в теории критических точек функций появляются группы отражений: они составляются преобразованиями монодромии при обходе вокруг критических значений.

Теория групп отражений представляет собой хорошо разработанный отдел математики. Рассмотрим, например, на плоскости два зеркала. Если угол между ними несоизмерим с 2π, то число разных преобразований, полученных комбинированием отражений в этих зеркалах, бесконечно, а если соизмерим — то конечно. Точно так же в трехмерном пространстве найдены все расположения проходящих через 0 зеркал, порождающие конечное число преобразований; классификация таких расположений известна и при любой размерности пространства.

Вычисление групп монодромий простейших вырожденных критических точек функций вскрыло глубокие связи между теориями критических точек функций, каустик и волновых фронтов, с одной стороны, и теорией групп, порожденных отражениями — с другой.

Рис.81. Дискриминант группы симметрий икосаэдра типичная особенность графики многозначной функции времени на поверхности с краем

Проявления этой связи иногда выглядят довольно неожиданно. Рассмотрим, например, задачу об обходе препятствия, ограниченного кривой общего положения с обычной точкой перегиба на плоскости. Линии уровня времени в этой задаче — эвольвенты кривой. Эти эвольвенты имеют особенности на кривой (порядка 3/2) и на касательной перегиба (порядка 5/2). Оказывается, перестройкой особенностей эвольвент при прохождении точки перегиба управляет группа симметрий икосаэдра. Отсюда выводится, например, что график функции времени в окрестности точки перегиба гладкой заменой координат приводится к нормальной форме вроде ласточкиного хвоста. А именно, нормальной формой является поверхность многочленов х⁵ + ах⁴ + bх² + с с кратными корнями (или поверхность касательных к кривой (t, t³, t⁵)A рис. 81, О. В. Ляшко, О. П. Щербак).

16. Мистика теории катастроф

Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф: наряду с конкретными исследованиями типа работ Зимана имеются скорее философские труды математика Р. Тома, который первым осознал всеобъемлющий характер работ Уитни по теории особенностей (и предшествовавших им работ Пуанкаре и Андронова по теории бифуркаций), ввел термин "теория катастроф" и занялся широкой пропагандой этой теории.

Качественной особенностью работ Тома по теории катастроф является их своеобразный стиль: предчувствуя направление будущих исследований, Том не располагает не только доказательствами, но и точными формулировками своих результатов. Зиман, горячий поклонник этого стиля, замечает, что смысл слов Тома становится понятным лишь после того, как вставишь 99 своих строк между каждыми двумя строками Тома.

Чтобы читатель мог составить об этом стиле собственное представление, приведу здесь образчик из обзора перспектив теории катастроф, сделанного Томом в 1974 г.: