Теория катастроф

Поэтому от любого неособого комплексного объекта (например, многочлена без кратных корней) к любому другому можно перейти непрерывным путем, оставаясь среди неособых объектов (в примере — среди многочленов без кратных корней). Но при малой деформации неоеобого объекта его топология не меняется (скажем, число корней многочлена без кратных корней не меняется при достаточно малом изменении коэффициентов). Следовательно, топологические инварианты одинаковы у всех неособых объектов данного класса (например, число комплексных корней всех многочленов данной степени без кратных корней одинаково). Итак, остается изучить топологию одного неособого комплексного объекта (найти число комплексных корней одного уравнения без кратных корней)[8], чтобы узнать топологию всех. Напротив, в вещественном случае множество особых объектов делит пространство всех объектов на части. Например, обычный ласточкин хвост (рис. 34) делит пространство вещественных многочленов х⁴ + ах² + bх + с на 3 части: в одной лежат многочлены с четырьмя вещественными корнями, в другой с двумя, в третьей — без вещественных корней (сообразите, в какой части сколько корней!).

Рассмотрим теперь в качестве объектов кривые, заданные на плоскости (х, у) условием f (х, у) = 0, где f — какой-либо многочлен фиксированной степени. Например, если степень равна 2, то неособая кривая будет, как правило, эллипсом или гиперболой (все другие кривые второго порядка соответствуют исключительным, особым случаям).

Множество пар комплексных чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению f (х, у) = 0, называется комплексной кривой. С вещественной точки зрения это двумерная поверхность в четырехмерном пространстве. Как правило почти при любых коэффициентах многочлена f) комплексная кривая — неособая. Из предыдущих рассуждений следует, что все неособые кривые данной степени топологически одинаковы. Чтобы найти топологию этих поверхностей, достаточно поэтому изучить одну из неособых комплексных кривых данной степени.

Ответ оказывается таким: поверхность получается из сферы приделыванием g = (n — 1 )(n — 2)/2 ручек и выкидыванием из образовавшейся поверхности n точек. Например, комплексная прямая (n = 1) — это вещественная плоскость (сфера без одной точки), комплексная окружность — вещественный цилиндр (сфера без двух точек)" комплексная кривая степени 3 топологически устроена как поверхность тора, проколотая в трех местах.

Рис. 75. Риманова поверхность плоской алгебраической кривой

Самый простой способ в этом убедиться — получить неособую кривую небольшим шевелением из набора п прямых. Начнем, скажем, с n вещественных прямых, расположенных общим образом на плоскости и потому пересекающихся в n (n — 1)/2 точках (рис. 75). Каждая прямая задается линейным неоднородным уравнением вида l = 0, где l = ах + by + с. Перемножим соответствующие n прямым линейные функции I. Произведение обращается в нуль в точности на n прямых. Замена распадающейся на прямые кривой f = 0 на неособую кривую f = (малое число) и есть нужное шевеление.

При переходе к комплексным х и у каждая прямая становится в вещественном смысле плоскостью, так что кривая f = О превращается при комплексификации в набор n плоскостей. Каждые две такие плоскости в четырехмерном пространстве пересекаются по точке (ведь точки при комплексификации так и остаются точками). При описанном выше шевелении поверхность становится гладкой. Сглаживание устроено так: окрестность точки пересечения на каждой из обеих пересекающихся плоскостей выкидывается и затем две образовавшихся окружности склеиваются друг с другом (так, чтобы получилась ориентируемая поверхность).

Например, из трех попарно пересекающихся по точке сфер при сглаживании трех точек пересечения получается тор (рис. 75), Точно так же из п сфер получается сфера с (п — 1) (п — 2)/2 ручками, а из n плоскостей — сфера со столькими же ручками без n точек.

Тем самым мы решили задачу о топологическом строении неособой комплексной алгебраической кривой степени n (сфера с ручками, возникшая в этой конструкции, называется римановой поверхностью кривой)[9].

Что же касается топологического строения вещественной кривой степени n, то оно до сих пор известно лишь для кривых малой степени (неизвестно уже, как могут располагаться ветви кривой степени 8 на плоскости).

Подобно теории кривых, теория особенностей также упрощается при переходе в комплексную область; многие явления, кажущиеся с вещественной точки зрения совершенно загадочными, в комплексной области получают прозрачное объяснение.

Рассмотрим, например, строение простейших критических точек комплексных функций (т. е. комплексификацию теории максимумов и минимумов).