Теория катастроф

"В философском, метафизическом плане теория катастроф не может принести ответа на великие проблемы, волнующие человека. Но она поощряет диалектическое, гераклитовское видение Вселенной, видение мира как театра непрерывной борьбы между "логосами", между архетипами. Теория катастроф приводит нас к глубоко политеистическому взгляду: во всем следует различать руку Богов. И здесь, быть может, теория катастроф найдет неизбежные пределы своей практической применимости. Она разделит, быть может, участь психоанализа. Нет сомнения, что основные психологические открытия Фрейда верны. И все же знание этих фактов принесло мало практической пользы (при лечении психических заболеваний). Как герой Илиады не мог противостоять воле бога, скажем Посейдона, не опираясь на мощь другого божества, скажем Афины, так и мы не сможем ограничить действие архетипа, не противопоставляя ему архетипа- антагониста в борьбе с неопределенным исходом. Те самые причины, которые нам позволяют располагать нашими возможностями действовать в одних случаях, осуждают нас на бессилие в других. Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце".

Прекрасные результаты теории особенностей, к счастью, не зависят от мрачной мистики теории катастроф. Но и в теории особенностей, как и во всей математике, есть нечто таинственное: это удивительные совпадения и связи между далекими на первый взгляд предметами и теориями.

Одним из примеров такого совпадения, остающегося загадочным (хотя кое-что и понято), является так называемая A, D, Е-классификация. Она встречается в таких разных отделах математики, как, например, теории критических точек функций, алгебр Ли, категорий линейных пространств, каустик, волновых фронтов, правильных многогранников в трехмерном пространстве и кристаллографических групп, порожденных отражениями.

Общим во всех этих случаях является требование простоты, или отсутствия модулей. Простота означает следующее. Каждая классификация есть разбиение некоторого пространства объектов на классы. Объект называется простым, если все близкие к нему объекты принадлежат конечному набору классов.

Пример 1. Назовем два набора проходящих через точку 0 на плоскости прямых эквивалентными, если один из них переходит в другой при линейном преобразовании (х, у) → (ах + by, сх + dy). Любой набор трех прямых прост (любой набор трех различных прямых эквивалентен набору х = 0, у = 0, х + у = 0). Любой набор четырех проходящих через 0 прямых не прост (докажите!).

Пример 2. Будем классифицировать критические точки (комплексных) гладких функций, относя функции в один класс, если они сводятся одна к другой гладкой (комплексной) локальной заменой переменных. Список простых особенностей (скажем, для функций трех переменных) состоит из двух бесконечных серий и трех исключительных особенностей:

А_k = х² + у² + z^k+1, k ≥ 1;

D_k = х² + y²z + z^k-1, к ≥ 4;

Е₆ = x² + у³ + z⁴,

Е₇ = x² + у³ + yz³,

Е₈ = х² + у³ + z⁵.