Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Многообразия Калаби-Яу, с другой стороны, относятся к более ограниченной группе голономии SU( n), что означает специальную унитарную группу, имеющую  nкомплексных измерений. Те из многообразий Калаби-Яу, к которым проявляет особый интерес теория струн, имеют три комплексных измерения, что позволяет поместить их в группу голономии SU(3). Конечно, пространства Калаби-Яу намного сложнее сфер, и голономия SU(3) намного сложнее предыдущего примера с вектором, который поворачивается при движении по поверхности сферы, несмотря на все наши усилия сохранять его направление неизменным. Более того, поскольку в многообразиях Калаби-Яу, в отличие от сферы, отсутствует глобальная симметрия, не существует осей, при повороте вокруг которых эти многообразия совпали бы сами с собой. Впрочем, они имеют более ограниченный тип симметрии, который, как мы уже говорили, относится к голономии и суперсимметрии. Для многообразия обладание суперсимметрией равнозначно обладанию так называемым ковариантно-постоянным спинором. Спиноры, хотя их весьма тяжело описать, во многом аналогичны касательным векторам. Для кэлерова многообразия существует единственный спинор, который остается неизменным при параллельном переносе вдоль любой замкнутой петли. В многообразиях Калаби-Яу – как и во всей группе SU(3), к которой они принадлежат, помимо этого спинора существует еще один, который также не изменяется при параллельном переносе по любой замкнутой петле, принадлежащей многообразию.

Наличие этих спиноров помогает убедиться в наличии суперсимметрии для соответствующих многообразий, и именно требование суперсимметрии определенного типа было предъявлено Строминджером и Канделасом к группе SU(3) в первую очередь. Группа SU(3), в свою очередь, является группой голономии, связанной с компактными кэлеровыми многообразиями с обращающимся в нуль первым классом Черна и нулевой кривизной Риччи. Иными словами, голономия SU(3) неявно подразумевает многообразия Калаби-Яу. Или, что эквивалентно, если нужно найти такое решение, которое удовлетворяло бы как уравнениям Эйнштейна, так и уравнениям суперсимметрии – и если при этом нужно оставить дополнительные измерения скрытыми и сохранить суперсимметрию в наблюдаемом мире, – единственным решением будут многообразия Калаби-Яу. Как сказал физик из Университета Джона Хопкинса Раман Сандрам: «Они представляют собой прекрасный математический ответ».[60]

«Я едва ли хорошо разбирался в математике в то время, но мне удалось установить связь с многообразиями Калаби-Яу благодаря группе голономии, их характеризующей, – говорит Строминджер. – Я обнаружил статью Яу в библиотеке и мало что из нее понял, но из того немногого, что мне удалось понять, я сделал однозначный вывод о том, что эти многообразия – это как раз то, что доктор прописал».[61] Хотя чтение моих статей далеко не для всех становится незабываемым жизненным опытом, Строминджер действительно говорил (почти через двадцать лет после того, как это произошло) о том возбуждении, которое он испытал, впервые наткнувшись на мое доказательство гипотезы Калаби.[62] Однако прежде чем полностью предаться своим чувствам, Строминджер позвонил мне, чтобы убедиться в том, что он действительно правильно понял мою статью. Я подтвердил его ожидания. В тот момент я осознал, что после восьми лет поисков физика наконец обнаружила многообразия Калаби-Яу.

Итак, в этот укромный уголок математики физиков привела суперсимметрия, – впрочем, я еще не объяснил, по какой именно причине принято рассматривать суперсимметрию как нечто сверхъестественно важное, если не считать таковым общего утверждения о значимости симметрии в понимании любого типа многообразий. Как поясняет принстонский физик Хуан Малдасена: «Суперсимметрия не только делает расчеты проще, она делает их возможными. Почему? Потому что проще описать движение сферы, катящейся с идеального холма, чем движение футбольного мяча по реальному склону, траектория которого будет в значительной степени случайна».[63]

Наличие симметрии делает все проблемы более простыми для разрешения. Предположим, что нам необходимо найти все решения уравнения xy=4. Это займет много времени, поскольку число решений этого уравнения бесконечно. Если, однако, ввести условие симметрии, x=y, то решений будет только два: 2и - 2. Аналогично, если известно, что необходимые нам точки плоскости x-yсимметричны относительно начала координат, то есть находятся на окружности, то вместо двух переменных – xи y– для описания этой окружности вам будет достаточно только одной – ее радиуса. Подобным образом и суперсимметрия сокращает число переменных, значительно упрощая тем самым решаемые задачи, накладывая ограничения на те геометрические формы, которые могут принимать скрытые шесть измерений. По словам математика из Техасского университета Дэна Фрида, «это ограничение и дает вам Калаби-Яу».[64]