Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Первые тревожные признаки появились, когда теория струн в своем развитии натолкнулась на понятие конформной инвариантности. Струна, движущаяся через пространство-время, заметает поверхность с двумя вещественными измерениями (одним пространственным и одним временным) и одним комплексным – так называемый мировой лист. Если струна имеет форму петли, то мировой лист представляет собой вытянутую многомерную трубку, или, точнее, комплексную риманову поверхность без границы; в случае же незамкнутой струны в роли мирового листа будет выступать бесконечная лента – комплексная риманова поверхность, имеющая границу. В струнной теории мы исследуем все возможные колебания струн, которые определяются физическим принципом – принципом наименьшего действия, зависящим от конформной структуры мирового листа – внутреннего свойства римановых поверхностей. Таким образом, конформная инвариантность изначально встроена в теорию струн. Кроме того, теория струн обладает масштабной инвариантностью, а это означает, что умножение расстояний на произвольную постоянную не изменяет отношений между точками. Итак, можно изменять поверхность – накачивать ее воздухом подобно воздушному шару или сжимать ее, выпуская накачанный воздух, растягивать ее любыми другими путями, меняя форму или расстояние между точками, – не затрагивая при этом чего-либо существенного с точки зрения теории струн.

Проблемы возникают, когда требование конформной инвариантности выдвигается в рамках квантовых представлений. Подобно тому как классическая частица движется по геодезической линии – траектории, соответствующей минимальному четырехмерному пространственно-временному расстоянию между двумя точками, как предсказывает принцип наименьшего действия, о котором шла речь в третьей главе, классическая струна также движется по траектории, длина которой минимальна. В результате этого мировой лист, образованный движущейся струной, представляет собой минимальную поверхность особого типа. Поверхность такого двухмерного мирового листа можно описать при помощи системы уравнений – двухмерной теории поля, которая точно предсказывает возможные пути перемещения струны. В теории поля все силы описываются при помощи полей, пронизывающих пространство-время. Движение струны и ее поведение в целом определяется силами, которые на нее действуют, и струна перемещается таким образом, чтобы поверхность соответствующего мирового листа была минимальной. Среди огромного количества возможных мировых листов, соответствующих множеству возможных путей перемещения струны, теория поля отбирает именно тот, площадь которого минимальна.

Квантовая интерпретация данной теории поля учитывает не только наиболее существенные особенности движения струны в пространстве-времени и поверхности, заметаемой данной струной, но также и некоторые более мелкие детали, обусловленные колебаниями струны в процессе движения. В результате мировой лист будет иметь небольшие особенности, отражающие эти колебания. В квантовой механике частица или струна, движущаяся в пространстве-времени, движется одновременно по всем возможным траекториям. Вместо того чтобы просто выбрать один мировой лист, обладающий минимальной поверхностью, квантовая теория поля рассматривает средневзвешенное значение всех возможных конфигураций мирового листа, и большое значение в ее уравнениях отведено поверхности с меньшей площадью.

Вопрос состоит в том, будет ли теория двухмерного квантового поля после усреднения, проведенного путем интегрирования по всем возможным геометриям мирового листа, по-прежнему удовлетворять условию масштабной инвариантности и другим аспектам конформности? Ответ на этот вопрос зависит от метрики пространства, в котором находится мировой лист; для одних метрик теория поля является конформной, для других – нет.

Для того чтобы определить, поддерживается или нет масштабная инвариантость конкретной метрикой, рассчитывается так называемая бета-функция, определяющая отклонение теории от конформности. Если значение бета-функции равно нулю, то при деформации мирового листа – раздувании, растяжении или сжатии – ничего не изменяется, что говорит о конформности теории. Бета-функция автоматически обращается в нуль в случае риччи-плоской метрики подобной той, которой обладают пространства Калаби-Яу. К сожалению, как и в случае многих обсуждавшихся ранее сложных уравнений, решение уравнения для бета-функции в явном виде найти невозможно. Вместо этого было найдено приближенное решение путем аппроксимации искомой функции суммой бесконечного числа слагаемых – так называемым степенным рядом. Считается, что чем больше членов ряда задействовано в аппроксимации, тем она лучше.