Том 1. Механика, излучение и теплота

Тогда сколько-нибудь существенный вклад в интеграл дают только частоты, близкие к ω₀ и отстоящие от нее на очень малую величину γ. Поэтому, хотя I(ω) неизвестная и, может быть, сложная функция, важно только ее поведение около ω=ω₀ и можно заменить плавную кривую еще более ровной — «постоянной» — всюду одной высоты. Иначе говоря, мы просто вынесем I(ω) из-под знака интеграла и назовем это I(ω₀). Вынесем за интеграл и остальные постоянные и тогда получим

(41.11)

Интеграл берется от 0 до ∞, но 0 отстоит так далеко от ω₀, что кривая за это время идет почти вдоль оси абсцисс, поэтому заменим 0 на -∞, разница небольшая, а интеграл взять легче. Интеграл вида ∫dx/(x²+а²) приводит к арктангенсу. Если взглянуть в справочник, то мы увидим, что он равен π/α. Итак, для нашего случая это 2π/γ. После небольших манипуляций мы получаем

(41.12)

Затем мы подставим сюда формулу (41.6) для γ (мы уже не будем стараться писать ω₀; раз это верно для любой ω₀, то можно назвать ее просто ω), и формула для I(ω) примет вид

(41.13)

Она и определяет распределение света в горячей печке. Это так называемое излучение абсолютно черного тела. Черного потому, что, если заглянуть в топку печки при абсолютном нуле, она будет черной.

Формула (41.13) задает распределение энергии излучения внутри ящика при температуре Т согласно классической теории. Отметим сначала замечательную особенность этого выражения. Заряд осциллятора, масса осциллятора, все частные его свойства выпали из формулы; ведь если мы достигли равновесия с одним осциллятором, мы должны позаботиться о равновесии и с любым другим осциллятором другой массы, иначе будут неприятности. Таким образом, это важный способ проверки нашей теоремы о том, что равновесие зависит только от температуры, а не от того, что приводит к равновесию. Теперь можно начертить кривую I(ω) (фиг. 41.4).

Фиг. 41.4. Распределение интенсивности излучения черного тела при двух температурах. Сплошные кривые — согласно классической теории; пунктирные — настоящее распределение, 1— paдuo ; 2 — инфракрасное; 3 — видимое; 4 — ультрафиолетовое; 5 — рентгеновские лучи.

Она покажет нам, какова освещенность при разных частотах.

В выражение для интенсивности в ящике на единицу частоты входит, как видно, квадрат частоты; это значит, что если взять ящик при любой температуре, то в нем обнаружится бездна рентгеновских лучей!

Мы знаем, конечно, что это неверно. Когда мы открываем печку и заглядываем в нее, мы не портим глаз рентгеновскими лучами. Дальше — хуже, полная энергия ящика, полная интенсивность, просуммированная по всем частотам, должна быть площадью под этой уходящей в бесконечность кривой. Итак, здесь что-то совсем неверно в самой основе.

Это значит, что классическая теория совершенно непригодна для правильного описания распределения излучения черного тела, так же как и для описания теплоемкостей газов. Физики ходили вокруг этого вывода, рассматривали его с различных точек зрения и не нашли выхода. Это предсказание классической физики. Уравнение (41.13) называется законом Рэлея, предсказано оно классической физикой и до очевидности абсурдно.

§ 3. Равномерное распределение и квантовый осциллятор

Только что отмеченная трудность — это еще одна сторона проблемы непрерывности в классической физике, она началась с непорядка в теплоемкостях газов, а потом эта проблема сконцентрировалась на распределении света в черном теле. Конечно, пока теоретики обсуждали эти вещи, производились еще и измерения настоящих кривых. И было установлено, что правильная кривая выглядит так, как пунктирные кривые на фиг. 41.4. Никаких рентгеновских лучей там нет. Если понижать температуру, то кривые приближаются к оси абсцисс примерно так, как того требует классическая теория, но и при низкой температуре опытные кривые тоже в конце обрываются.