Том 1. Механика, излучение и теплота

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию x, y и z, называемую скалярной функцией, — величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а·а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:

(11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

(11.19)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин a·a, b·b и c·c, где c=a+b. Сумма квадратов (a_x+b_x)²+(a_y+b_y)²+(a_z+b_z)² — инвариант:

(11.20)

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b — выражения (11.18). Инвариантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а·b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

(11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а·b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а·b есть произведение длин векторов а и b на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а_x, которая равна длине вектора а. Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a·b=a_xb_x, что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна bcosθ, т. е.

Таким образом, в этой частной системе координат мы доказали, что a·b равно произведению длин векторов а и b на косинус угла между ними θ. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах, потому что а·b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энергией величину ¹/₂mv², но если частица движется в пространстве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости x, y и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

(11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор скорости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

(11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления. Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i·i=1. Скалярное произведение i·a равно acosθ, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направления i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат x, y и z. Введем три вектора: i — единичный вектор вдоль оси х, j — единичный вектор вдоль оси y и k— единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i·i=l. Чему же равно произведение i·j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом,

(11.24)

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор a в виде

(11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться дальше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно определить еще одно произведение двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается в виде а×b. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

Глава 12 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛЫ