Том 1. Механика, излучение и теплота

Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы a и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими а_x, a_y, a_z и b_x, b_y ,b_z. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа а_x+b_x, a_y+b_y , а_z+b_z. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа а_x+b_x, а_y+b_y, a_z+b_z, если известно, что при изменении системы координат числа а_x, а_у, a_z переходят в а'_x, а'_у, a'_z, а b_x, b_у, b_z переходят в b'_x, b'_y, b'_z? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'_x +b'_x, a'_y+b'_y, a'_z+b'_z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11_:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к а_x и b_x и вычислим а_x+b_x то окажется, что преобразованное а_x+b_x есть то же самое, что и а_x+b_x. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:

Вектор с обладает интересным свойством:

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл a+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим a и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.

Фиг. 11.4. Сложение векторов.

Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими a. Поскольку a и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору a. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» a на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор c. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор a на число α. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами αа_x, αа_у, αa_z. Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором -b=(-1)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг. 11,5. Вычитание векторов.

На этом чертеже изображено d=a-b=a+(-b); заметим также, что, зная векторы a и b, разность a-b можно легко найти из эквивалентного соотношения a=b+d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и a, и вы получите a-b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны x, y, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'/dt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:

Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Δt? Ответ: на Δr, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Δr=r₂-r₁. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6.

Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Δt=t₂-t₁.

Если разделить этот вектор на промежуток времени Δt=t₂-t₁, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t+Δt и t, деленной на Δt при Δt, стремящемся к нулю:

(11.10)