Том 1. Механика, излучение и теплота

Теперь (мы поступали так и раньше) установим соотношения между силами, измеряемыми двумя наблюдателями. Предположим, что сила F, имеющая (с точки зрения Джо) составляющие F_x и F_y , действует на расположенную в точке Р на фиг. 11.2 частицу массы m. Для простоты сдвинем обе системы координат так, что начала их переместятся в точку Р, как показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мнению, имеет составляющие F_x' и F_y' вдоль его осей.

Фиг. 11.3. Составляющие сил в двух системах.

Составляющая F_x, как и F_y, имеет составляющие вдоль обеих осей х' и у'. Чтобы выразить F_x' через F_x и F_y , сложим составляющие этих сил вдоль оси х'; точно таким же образом можно выразить и F_y' через F_x и F_y . В результате получим

(11.6)

Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем окажется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме.

Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справедливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат? Другими словами, если предположить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между измеряемыми величинами, то верно ли, что

(11.7)

Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычислить левые части, умножим уравнения (11.5) на m и продифференцируем их дважды по времени, считая угол θ постоянным. Это дает

(11.8)

Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1) в уравнения (11.6). Получаем

(11.9)

Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождественны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то ими можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во-первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во-вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и обладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.

§ 4. Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач потребовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к минимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый результат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами.