Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Пифагорейцы были твердо убеждены в том, что числа выражали гармонию Вселенной, поэтому две величины всегда должны быть соизмеримы: их отношение должно выражаться как отношение целых чисел. Понятие соизмеримости напрямую связано с числами, которые мы называем рациональными. Рациональное число — это число, представляемое обыкновенной дробью, числителем которой является целое число, а знаменателем — натуральное. На языке современной математики пифагорейское понятие соизмеримости будет звучать так: две произвольные величины А и В соизмеримы, если существует третья величина С и два целых числа р и q такие, что С укладывается в А р раз, а в В — q раз.

Иными словами, можно, используя всего два целых числа, точно определить, во сколько раз А больше (или меньше) В. Однако уже пифагорейцы, к своему неудовольствию, обнаружили, что существуют несоизмеримые числа, отношение между которыми нельзя представить с помощью целых чисел. В настоящее время такие числа называют иррациональными. Самые известные иррациональные чисда — это π и √2. Корень из двух — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1, вычисленная по теореме Пифагора.

* * *

ТРИ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пифагор находился под влиянием своих знаний о средних величинах (среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом) и о мистицизме натуральных чисел, особенно первых четырех, называемых «тетракис».

Как видно на рисунке ниже,

3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:

2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:

Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2,2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) издают приятные звуки. Как вы уже знаете, на основе этих соотношений он создал свой музыкальный строй. Пифагор назвал эти интервалы диапазон, диапент и диатессарон. Мы называем эти интервалы октавой, квинтой и квартой соответственно. Но что случилось со средним геометрическим? Пифагор отказался от него, так как оно было несоизмеримо с остальными? Вовсе нет: среднее геометрическое точно соответствует ноте фа-диез хроматического строя.

* * *

Как вы уже увидели, при настройке интервалов так, чтобы соотношение частот равнялось 18/17, что предлагал Винченцо Галилей, нельзя получить чистые октавы. Число 18/17 достаточно точное, но стоит задаться вопросом: существует ли рациональное число, равное  — соотношению частот для интервалов равномерно темперированного строя? Иначе говоря, существуют ли два целых положительных числа а и b такие, что

Их не существует. Следовательно, если соотношение частот звуков описывается отношением целых чисел а/Ь, то цепочка из 12 полутонов не будет равна «настоящей» октаве. Если бы такие числа существовали, то выполнялось бы равенство

и, как следствие, существовали бы два целых числа а’ = а⁶ и b’ = b⁶ такие, что (а’/Ь’)² = 2. Следовательно, число √2 было бы рациональным, что невозможно.

Что сказали бы пифагорейцы, увидев, что задача о создании идеального музыкального строя решается с помощью иррациональных чисел?

Глава 2 Другое измерение: время

Думаю, что ритм — основная, возможно, важнейшая часть музыки: он появился раньше, чем мелодия и гармония, и, признаюсь, я испытываю к нему тайную симпатию.

Оливье Мессиан (1908–1992)

Вселенная непрерывно меняется. Течение времени проявляется в изменении положения предметов, их формы, физических и химических свойств. Биологические, метеорологические, геологические, астрономические явления происходят с течением времени. Явления природы, как и деятельность человека, подчинены определенному ритму.