Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Доли образуют структуру, лежащую в основе всей музыки подобно тому, как ткань формируется переплетением тонких нитей с нитями основы. Выберем в качестве единицы измерения ударов восьмую ноту, которую укажем как . Так как ритм образован последовательностью ударов и пауз, будем использовать только восьмые ноты и восьмые паузы. Восьмые паузы обозначим . Назовем четвертной нотой последовательность из удара и паузы (из восьмой ноты и восьмой паузы). Отметим ее . И наконец, добавим в нашу нотацию еще один новый символ, так называемую четвертную ноту с точкой,  — для обозначения тех случаев, когда за одной паузой следует другая, то есть последовательность нот и пауз выглядит как .

По сути, мы рассматриваем двоичную систему, где нотам и паузам присваиваются значения 1 и 0 соответственно. Эквиваленты этих символов для такта размером 4/4 записываются так:

Заметим, что последовательность удар-пауза-удар-пауза повторяется дважды. Двухдольный такт, каждая из долей которого длится одну четвертную ноту с точкой (6/8), будем обозначать так:

Покрытие пространства звуков

В следующей главе мы более подробно проанализируем структуру канонов, а пока ограничимся их ритмическим аспектом, который называется ритмическим каноном.

Одновременное исполнение различных ритмических единиц — серьезная задача для исполнителя, как для солиста, так и для группы. Чтобы познакомиться с тем, что такое ритмический канон, рассмотрим упражнение.

Начнем с ритма  = 3 + 3 + 2= 10010010, который циклически исполняют два музыканта. Второй музыкант начинает играть после первой артикуляции первого исполнителя:

Можно увидеть, что в столбцах таблицы под номерами 3, 6, 11 и так далее (выделены жирным шрифтом) паузы обоих ритмов совпадают. Существуют ритмические рисунки, которые можно исполнить в каноне так, что будут выполняться следующие условия:

1) два музыканта не начинают играть одновременно;

2) паузы ритмических рисунков никогда не накладываются друг на друга.

Эту ситуацию можно сравнить с математической задачей замощения плоскости, в которой требуется покрыть всю плоскость правильными геометрическими фигурами. Однако в нашем случае мы хотим покрыть всю «звуковую плоскость».

Простой ритм, например = 100100, удовлетворяет приведенным выше условиям. Чем длиннее ритмический рисунок, тем сложнее решить поставленную задачу. Следующая последовательность из 12 ударов

полностью покрывает «звуковую плоскость» так, что при исполнении ее трио с начальным сдвигом в четыре артикуляции паузы полностью отсутствуют:

* * *