Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

ПРОПОСТА И РИСПОСТА

Изначально слово «канон» обозначало свод правил, которыми руководствовались певцы при исполнении песен. Начиная с XVI века этим словом стали обозначать конкретную разновидность композиции, в которой ведущий (также называемый пропоста) исполнял ту же мелодию, что повторяли голоса, вступающие позже (риспосты). Мелодия риспосты могла быть ритмически эквивалентной мелодии ведущего или, напротив, отличаться по сложности. Детская песенка «Братец Якоб» (фр. Frere Jacques) — известный пример канона, в котором имитирующие голоса в точности повторяют основную мелодию без каких-либо изменений.

К преобразованиям имитирующих голосов канона относятся: число имитирующих голосов; интервал ожидания между первым и последующим голосом либо между различными голосами, если они вступают по очереди; темп мелодии, исполняемой имитирующими голосами; инверсия мелодии ведущего; запаздывание мелодии и так далее.

Каноны были очень популярны в церковной музыке. Наивысшего расцвета они достигли в произведениях композиторов позднего Средневековья, например Гийома де Машо, и композиторов эпохи Возрождения, например Жоскена Депре. Однако наиболее ярко технику канона, как и многие другие более сложные техники, использовал Иоганн Себастьян Бах, создавший произведения, по праву называемые каноническими.

Первые такты мессы L'Homme arme super voces musicales («Вооруженный человек») Жоскена Депре, которая начинается с трехголосного канона. Ведущий голос самый медленный, второй исполнитель поет в два раза быстрее него, третий — в три раза быстрее. Линии соединяют первые четыре ноты произведения для каждого из трех голосов.

* * *

С математической точки зрения интерес представляет поиск метода, позволяющего составлять подобные последовательности. В нем должны учитываться следующие параметры:

— общее число артикуляций (а),

— число голосов (v),

— смещение голосов (d).

Чтобы эта задача имела решение, должны выполняться следующие условия:

— число артикуляций а должно делиться на число голосов и нацело;

— нужно «покрыть» а артикуляций с помощью v голосов. Так как все голоса эквивалентны, базовая структура должна состоять из a/v «единиц»;

— голоса смещаются относительно друг друга на величину, равную a/v. Это гарантирует, что ни в один момент времени не будут дублироваться единицы.

Приведем пример для четырех артикуляций (а = 4) и двух голосов (v = 2).

Смещение равно a/v = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:

1100

1001

Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть, что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом случае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:

Во втором случае так:

Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями, исполняемыми в 3 голоса, то

то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.

Возьмем за основу следующую структуру:

0000 0000 0000.

Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встречалась ровно один раз:

1000 0100 0011.