Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С₀, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С₀•i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С₁ = С₀ + С₀•i = С₀•(1 + i), и так происходит до последнего года.

n = 0; С₀,

n = 1; С₁ = С₀ + С₀•i = С₀•(1 + i),

n = 2; С₂= С₁ + С₁•i = С₀•(1 + i) + С₀•(1 + i)•i = С₀•(1 + i)•(1 + i) = С₀•(1 + i)²,

n = 3; С₃= С₂ + С₂•i = С₀•(1 + i)² + С₀•(1 + i)²•i = С₀•(1 + i)²•(1 + i) = С₀•(1 + i)³

……

n = n; С_n = С₀•(1 + i)ⁿ.

Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: С_n = С₀•(1 + i)ⁿ. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:

С другой стороны, если в формуле С_n = С₀•(1 + i)ⁿ перейти к логарифмам, получим:

Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.

* * *

Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться

где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.

Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы

где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.

Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.

Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.

Сколько времени должно пройти, чтобы вложенный капитал удвоился

Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C₀  = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С₃?

C₀ = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.

Применив формулу С₃ = С₀•(1 + i)³ получим:

С₃ = 10000•(1 + 0,05)³  = 10000•1,157625 = 11576,25 евро.

Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?

Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С₀ = 10000 евро, конечный капитал С_n = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу

и получим следующий результат:

Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).

* * *