Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Максимальный объем продукции, которую можно произвести при определенном количестве факторов производства, определяется производственной функцией: х = f(v₁, v₂, …, v_n), где х — объем произведенной продукции, v₁, v₂, …, v_n — факторы производства. Факторы производства зависят от уровня технологий и остаются неизменными, пока не произойдет смена технологий. При смене технологий изменяются значения используемых факторов либо они заменяются новыми, более эффективными факторами. Предполагается, что переменные, используемые в производственной функции (объемы и факторы производства), измеримы, а используемая технология и поведение факторов производства не меняются.

Предельные издержки и оптимизация прибыли предприятия

Оптимальный уровень производства

Производственную функцию, как и любую другую, можно выразить аналитически с помощью формулы, построив ее график или составив таблицу значений. В строках и столбцах таблицы значений будут записаны значения факторов производства, необходимые для получения определенного объема продукции. На графике изображаются значения, содержащиеся в этой таблице.

Проанализируем упрощенную модель, в которой рассматриваются всего два фактора производства. Рассмотрим пример с изготовлением сплава алюминия с никелем, в котором количество готовой продукции (х) зависит от массы никеля (v₁) и алюминия (v₂) по следующему закону:

x = v₁ + 2v₂

* * *

ФУНКЦИИ

Функция — это количественная взаимосвязь между переменными. В простейшем случае функция определяет влияние одной переменной — аргумента (ее значения выбираются произвольно) на другую переменную — зависимую (ее значение зависит от выбранного значения аргумента).

Существуют эмпирические функции, значения переменных для которых получены в результате эксперимента, и математические функции, в которых значения переменных подчиняются определенной формуле.

В экономике некоторые эмпирически выведенные зависимости между переменными можно приближенно описать математической функцией с помощью метода, называемого регрессией.

В других случаях используется формула, которая достаточно точно описывает связь между значениями двух переменных. Если мы будем рассматривать сумму, подлежащую уплате, как зависимую переменную, а число купленных единиц товара — как аргумент, то зависимость между ними будет определяться следующей формулой:

Сумма к уплате = стоимость за единицу товара • число единиц товара.

В математической нотации эта функция будет записываться как f(x) = а•х, где f(x) обозначает, что значение f (зависимой переменной) зависит от х, а — постоянная, равная стоимости единицы товара, х — число приобретенных единиц товара (аргумент).

Математическую функцию можно представить тремя способами: в виде формулы, таблицы значений или графика в декартовой системе координат. Существует множество видов функций.

Простейшими являются линейные функции, или полиномы (многочлены) первой степени, как, например, f(х) = 0,65х. Далее эта функция представлена в трех различных вариантах.