Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Функция f(x) = 0,65х — это линейная возрастающая функция, или прямая пропорциональность.

С увеличением независимой переменной х зависимая переменная f(x) также возрастает. В случае с функцией, предложенной выше (сумма к уплате = стоимость за единицу товара • число единиц товара), число единиц товара не может принимать отрицательные значения, и часть графика, расположенная слева от 0, не имеет смысла. Существует множество других линейных функций.

Каждая из них описывает особый тип связи между двумя переменными — х и f(х), как, например, две убывающие линейные функции g(х) и h(х), графики которых представлены ниже.

Функция i(х) называется обратной пропорциональностью. В функциях такого типа при возрастании независимой переменной х значение зависимой переменной i(х) соответственно уменьшается. Например, когда х принимает значение 3, i(х) равняется 0,8/3 = 0,267.

Также существуют полиномы второго порядка. Их графиками являются параболические кривые, как, например, график функции р(х), представленный на иллюстрации.

Периодические функции широко используются при решении многих задач биржевого анализа.

* * *

Для различных объемов производства сплава составляется следующая таблица производства. Числовые данные в таблице соответствуют формуле, которую мы привели выше.

Сочетание факторов производства при выпуске алюминиево-никелевого сплава.

Любое изменение технологий предполагает изменение сочетания факторов производства и, как следствие, ведет к формированию новой таблицы производства с последующим изменением производственной функции. Каждому состоянию технологий соответствует график производства с кривыми, описывающими, как объем готовой продукции связан со значениями всех факторов, соответствующих данному состоянию технологий. Так, например, на графике внизу слева можно увидеть изменение сочетания факторов производства v₁ и v₂ соответствующих двум различным состояниям технологий А и В.

Кривые производительности.

Изокванты (линии равного выпуска).

С применением различных технологий для выпуска одного и того же объема продукции (например, 50 кг сплава) будут использоваться разные сочетания факторов производства.

Графики, иллюстрирующие выпуск одного и того же объема готовой продукции Q₁(величины Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ на графике вверху справа), называются изоквантами — линиями равного выпуска.

Каждая изокванта иллюстрирует различные сочетания факторов производства, позволяющие получить один и тот же объем готовой продукции Q₁. Например, объем выпуска Qt можно обеспечить сочетанием 420 единиц фактора v₁ и 400 единиц фактора v₂ либо сочетанием 810 единиц фактора v₁ и 30 единиц фактора v₂.

В процессе производства возникают постоянные и переменные издержки, зависящие от объема произведенной продукции. Сумма постоянных и переменных издержек равна общим издержкам. Предельные издержки определяются как дополнительные затраты, связанные с увеличением выпуска готовой продукции на одну единицу:

Предельные издержки также выражаются производной функции издержек по объему продукции:

Для определенного объема выпуска значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке А, соответствующей этому объему выпуска.

График общих издержек, производная функции издержек и касательная к графику.

Средние издержки, или издержки на единицу продукции, определяются как результат деления общих издержек на число единиц произведенной продукции:

Например, при производстве 10 единиц продукта для каждой единицы можно рассчитать предельные и средние издержки.

Общие, предельные и средние издержки производства.

На основе этих данных можно построить кривые всех издержек производства.