Том 2. Электромагнетизм и материя

Повторить: гл. 47 (вып. 4) «Звук, волновое уравнение»

§ 1. Закон Гука

Теория упругости занимается поведением таких тел, которые обладают свойством восстанавливать свой размер и форму после снятия деформирующих сил. В какой-то степени этими упругими свойствами обладают все твердые тела. Если бы у нас было время заниматься этим предметом подольше, то нам пришлось бы рассмотреть множество вопросов: поведение напряженных материалов, законы упругости и общая теория упругости, атомный механизм, определяющий упругие свойства, и, наконец, ограничения на законы упругости, когда силы становятся настолько велики, что возникает пластическое течение и разрушение. Детальное рассмотрение всех этих вопросов потребовало бы гораздо больше времени, чем мы располагаем, поэтому кое от чего нам придется отказаться. Например, мы не будем обсуждать вопросы пластичности и ограничений на законы упругости. (Этого мы коснемся только очень кратко, когда у нас речь пойдет о дислокациях в металлах.) Мы не сможем также обсудить механизм упругости, так что наше исследование не будет обладать той полнотой, к которой мы стремились в предыдущих главах. Основная цель лекции — познакомить вас с некоторыми способами обращения с такими практическими задачами, как, например, задача об изгибании бруска.

Если вы надавите на кусок материала, то материал «поддастся» — он деформируется. При достаточно малых силах относительное перемещение различных точек материала пропорционально силе. Такое поведение называется упругим. Мы будем говорить только о таком упругом поведении. Сначала мы выпишем фундаментальный закон упругости, а затем применим его к нескольким различным ситуациям.

Предположим, что мы взяли прямоугольный брусок длиной l, шириной w и высотой h (фиг. 38.1).

Фиг. 38.1. Растяжение бруска под действием однородной нагрузки.

Если мы потянем за его конец с силой F, то его длина увеличится на Δl. Во всех случаях мы будем предполагать, что изменение длины составляет малую долю от первоначальной. На самом деле материалы, подобные стали или дереву, разрушаются еще до того, как изменение длины достигнет нескольких процентов от первоначального значения. Опыты показывают, что для большого числа материалов при достаточно малых удлинениях сила пропорциональна удлинению

(38.1)

Это соотношение известно как закон Гука.

Удлинение бруска Δl зависит и от его длины. Это можно продемонстрировать следующими рассуждениями. Если мы скрепим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каждый будет действовать одна и та же сила и каждый из них удлинится на Δl. Таким образом, удлинение бруска длиной 2l будет в два раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной l. Чтобы получить величину, полнее характеризующую сам материал и менее зависящую от формы образца, будем оперировать отношением Δl/l (удлинение к первоначальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от l:

(38.2)

Сила F зависит также от площади сечения бруска. Предположим, что мы поставили два бруска бок о бок. Тогда для данного удлинения Δl мы должны приложить силу F к каждому бруску, или для комбинации двух брусков требуется вдвое большая сила. При данной величине растяжения сила должна быть пропорциональна площади поперечного сечения бруска А. Чтобы получить закон, в котором коэффициент пропорциональности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в виде

(38.3)

Постоянная Y определяется только свойствами природы материала; ее называют модулем Юнга. (Обычно модуль Юнга обозначается буквой Е, но эту букву мы уже использовали для электрического поля, для энергии и для э. д. с., так что теперь лучше взять другую.)

Силу, действующую на единичной площади, называют напряжением, а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. относительное удлинение называют деформацией. Уравнение (38.3) можно переписать следующим образом:

(38.4)

При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается. Уменьшение толщины пропорционально самой толщине w и еще отношению Δl/l. Относительное боковое сжатие одинаково как для ширины, так и для его высоты и обычно записывается в виде

(38.5)

где постоянная σ характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона. Это число положительное до знаку, по величине меньше ¹/₂. (То, что постоянная σ в общем случае должна быть положительной, «разумно», но ниоткуда не следует, что она должна быть такой.)