Том 2. Электромагнетизм и материя

Мы будем записывать u_x следующим образом:

Разумеется, константа пропорциональности е_хх— это то же, что наше старое отношение Δl/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Если же деформация неоднородна, то связь между х и u_x в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е_хх как своего рода локальную величину Δl/l, т. е.

(39.2)

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

(39.3)

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3)[57].

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

При такой деформации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

(39.4)

а перемещение в направлении у пропорционально х:

(39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

где

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины е_xy и е_yx следующим образом:

(39.6)

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения u_х и u_y имеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u_y стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол θ/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если ∂u_y/∂х и ∂u_x/∂у равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е_ху=е_уx.

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

(39.7)

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е_ху всегда равно е_ух), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — векторы, то С_ij=А_iВ_j — тензор.) А каждое наше e_ij есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора u=(u_х, u_у, u_z) и оператора ∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z), который, как мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x₁, x₂ и x₃, а вместо u_х, u_y и u_z писать u₁, u₂ и u₃; тогда общий вид элемента тензора e_ij будет выглядеть так:

(39.8)

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e_ij — постоянные, и мы можем написать

(39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где u равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e_ij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u=(u_х, u_у, u_z).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

(39.10)

где ω_ij, — антисимметричный тензор

(39.11)

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором е_ij.

§ 2. Тензор упругости

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S_ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S_ij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9×9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C_ijkl, определив посредством уравнения

(39.12)

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С_ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.