Том 2. Электромагнетизм и материя

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений S_ij должен быть связан с e_ij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто», — скажете вы. «Единственный способ получить S_ij из e_ij — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S_ij=(Постоянная)×е_ij». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор δ_ij, умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е_ij. Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, — это ∑e_ij. (Он преобразуется подобно х²+y²+z², а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S_ij с e_ij для изотропного материала, будет

(39.20)

(Первая константа обычно записывается как 2μ; при этом коэффициент μ равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные μ, и λ называются упругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

(39.21)

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона σ. На вашу долю оставляю показать, что

(39.22)

§ 3. Движения в упругом теле

Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равновесии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не уравновешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).

Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V, ограниченный поверхностью А,

Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действующая на него сила F должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обусловлена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема f_внешн. Полная же внешняя сила F_внешн равна интегралу от f_внешн по всему объему кусочка:

(39.23)

В равновесии эти силы балансируются полной силой F_внутр, действующей по поверхности А со стороны окружающего материала. Когда же этот кусочек не находится в равновесии, а движется, сумма внутренних и внешних сил будет равна произведению массы на ускорение. При этом мы получаем

(39.24)

где ρ—плотность материала, а ^..r — его ускорение. Теперь мы можем скомбинировать уравнения (39.23) и (39.24) и написать

(39.25)

Нашу запись можно упростить, положив

(39.26)

Тогда уравнение (39.25) запишется в виде

(39.27)

Величина, названная нами F_внутр, связана с напряжениями в материале. Тензор напряжений S_ij был определен нами в гл. 31 таким образом, что x-компонента силы dF, действующей на элемент поверхности da с нормалью n, задается выражением

(39.28)

Отсюда х-компонента силы F_внутр, действующей на наш кусочек, равна интегралу от dF_x по всей поверхности. Подставляя это в x-компоненту уравнения (39.27), получаем

(39.29)

Оказалось, что поверхностный интеграл связан с интегралом по объему, а это напоминает нам нечто знакомое по главам об электричестве. Заметьте, что если не обращать внимания на первый значок х в каждом из S в левой части (39.29), то она выглядит в точности как интеграл от величины (S·n), т.е. нормальной компоненты вектора по поверхности. Она была бы равна потоку S через объем. А используя теорему Гаусса, поток можно было бы записать в виде объемного интеграла от дивергенции S. На самом деле все это справедливо независимо от того, есть ли у нас индекс х или нет. Это просто математическая теорема, которая доказывается интегрированием по частям. Другими словами, уравнение (39.29) можно превратить в

(39.30)

Теперь можно отбросить интегралы по объему и написать дифференциальное уравнение для любой компоненты f:

(39.31)

Оно говорит нам, как связана сила, действующая на единицу объема с тензором напряжения S_ij.