Том 2. Электромагнетизм и материя

Сохранение энергии, а именно формула Бернулли, говорит, что в суженной области, там, где скорость выше, давление ниже. Мы можем легко продемонстрировать этот эффект, измеряя давление в разных местах с различным сечением с помощью столбика воды, сообщающегося с потоком через достаточно малые отверстия, не возмущающие потока. При этом давление измеряется высотой вертикального столбика воды. И оно в узких местах действительно оказывается меньше, чем в широких. Если после сужения площадь сечения возвращается к своей прежней величине — той, что была до сокращения, то давление снова возрастает. Формула Бернулли предсказывает, что давление до сужения должно быть тем же, что и после него, однако на самом деле оно заметно меньше. Ошибка нашего предсказания кроется в том, что мы пренебрегли трением, вязкой силой, которая вызывает падение давления вдоль трубы. Однако, несмотря на это падение, давление в узком месте определенно меньше (из-за возрастания скорости), чем по обеим сторонам от него, как это предсказал Бернулли. Скорость v₂ должна превышать скорость v₁, чтобы через сужение могло пройти то же количество воды. Поэтому вода должна ускоряться, переходя из широкой части в узкую. Силы, которые приводят к этому ускорению, и есть перепад давления.

Этот результат можно проверить с помощью еще одного простого опыта. Представьте, что у нас есть резервуар с водой и выходной трубой, которая выбрасывает струю воды вверх (фиг. 40.10).

Фиг. 40.10. Доказательство того что v не равно √2gh,

Если бы скорость истечения была в точности равна √2gh, то выходящая вода должна была бы подняться вплоть до уровня воды в резервуаре. Однако на опыте она начинает падать несколько ниже его. Наше приближение оказывается очень грубым; вязкое трение, которое мы не учли в нашей формуле для сохранения энергии, приводит к потере энергии. Пытались ли вы когда-нибудь, дунув между двумя слипшимися листками бумаги, оторвать их друг от друга? Попытайтесь! Они сойдутся вновь. Причина, разумеется, состоит в том, что воздух между листами имеет большую скорость, нежели когда он выходит наружу. Поэтому давление между листами ниже атмосферного, и они вместо того, чтобы разлететься в разные стороны, соединятся.

§ 4. Циркуляция

В начале предыдущего параграфа мы видели, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удовлетворяет следующим двум уравнениям:

(40.19)

Эти уравнения аналогичны уравнениям электростатики или магнитостатики в пустом пространстве. При отсутствии зарядов дивергенция электрического поля равна нулю, а ротор электростатического поля всегда равен нулю. Ротор магнитного поля равен нулю при отсутствии токов, а дивергенция магнитного поля всегда равна нулю. Следовательно, уравнения (40.19) имеют такие же решения, как и уравнения для Е в электростатике или уравнения для В в магнитостатике. Фактически в гл. 12, § 5 (вып. 5), мы уже решили задачу об обтекании сферы потоком в качестве электростатического аналога. Электростатическим аналогом является однородное электрическое поле плюс поле диполя, причем поле диполя подбирается таким, чтобы скорость потока, нормальная к поверхности сферы, была равна нулю. Задачу об обтекании цилиндра можно решить таким же способом, выбрав подходящее направление диполя относительно однородного потока. Эти решения справедливы в тех случаях, когда скорость жидкости на больших расстояниях постоянна как по величине, так и по направлению. Они изображены на фиг. 40.11,а.

Фиг. 40.11. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью (а), циркуляция вокруг цилиндра (б) и cyпepрозuция случаев а и б (в).

Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг. 40.11,б). У такого потока есть циркуляция вокруг цилиндра, хотя ∇×v в жидкости остается нулем. Но как циркуляция может существовать без ротора? У нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от v по замкнутой петле, охватывающей цилиндр, не равен нулю. В то же время криволинейный интеграл от v по любому замкнутому пути, который не охватывает цилиндра, будет нулем. Аналогичные вещи встречались нам и раньше, когда мы определяли магнитное поле вокруг проводника. Ротор В был нулем вне провода, хотя криволинейный интеграл от В по пути, охватывающему провод, не исчезает. Поле скоростей в безвихревой циркуляции вокруг цилиндра в точности такое же, как и магнитное поле вокруг провода. Для кругового пути с центром, совпадающим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорости равен

Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от r. Обозначим его через постоянную С и получим

(40.20)

где v — тангенциальная скорость, а r — расстояние от оси.