Том 2. Электромагнетизм и материя

Мне бы хотелось подчеркнуть, что ни один из описанных нами потоков ни в каком отношении не похож на решение уравнения потенциального потока, о котором говорилось в предыдущей главе. На первый взгляд это очень удивительно. Ведь ℛ в конце концов пропорционально 1/η. Так что предел η→0 эквивалентен пределу ℛ→∞. И если мы перейдем к пределу больших ℛ в (41.23), то избавимся от правой части и получим как раз уравнения из предыдущей главы. Но все же трудно поверить, что сильно турбулентный поток с ℛ=10⁷ хоть в какой-то степени приближается к гладкому потоку, вычисленному из уравнений «сухой» воды. Как может случиться, что при ℛ=∞ поток, описываемый уравнением (41.23), дает решение, полностью отличное от решения, полученного при η=0, с которого мы начали? Ответ очень интересен. Обратите внимание, что в правой части (41.23) стоит произведение 1/ ℛ на вторую производную. Это наиболее высокая степень производной в уравнении: слева только первые производные. Получается так, что, хотя коэффициент 1/ ℛ становится малым, Ω в пространстве вблизи поверхности претерпевает очень быстрые изменения. Эти резкие изменения компенсируют малость коэффициента, и произведение с увеличением R не стремится к нулю. Поэтому, хотя коэффициент при ∇²Ω стремится к нулю, решения не приближаются к предельному случаю.

Вас может удивить: «Что же такое мелкомасштабная турбулентность и как она может поддерживать сама себя? Как завихренность, которая создается где-то на краях цилиндра, приводит к такому шуму позади него?». Ответ снова очень интересен. Завихренность имеет тенденцию к самоусилению. Если мы на минуту забудем о диффузии завихренности, которая обусловливает потери, то законы потока говорят (как мы уже видели), что линии вихря переносятся вместе с жидкостью со скоростью v. Представьте себе некоторое количество линий Ω, которые возмущаются и скручиваются очень сложной картиной скоростей потока v. Прежде простые линии спутаются и сожмутся. Величина завихренности будет возрастать, равно как и ее нерегулярности (положительные и отрицательные), которые, вообще говоря, тоже будут увеличиваться. Таким образом, завихренность в трех измерениях по мере перемешивания жидкости будет возрастать.

Вы можете также спросить: «Когда же в конце концов справедлива теория потенциального потока?» Прежде всего она удовлетворительна вне турбулентной области, куда проникновение завихренности из-за диффузии незначительно. Изготовляя специальные обтекаемые тела, мы стараемся сделать область турбулентности как можно меньше. Поток, обтекающий крылья самолета, которые имеют специальную рассчитанную форму, — почти настоящий потенциальный поток.

§ 6. Поток Куеттэ

Можно показать, что сложный и изменчивый характер потока мимо цилиндра не исключение и что такое разнообразие возможностей получается и в общем случае. В § 1 мы нашли решение для вязкой жидкости между двумя цилиндрами и можем сравнить эти результаты с тем, что получается на самом деле. Если мы возьмем два концентрических цилиндра и заполним пространство между ними маслом с добавленной в него мелкой алюминиевой пудрой, то поток можно легко наблюдать. Если начнем медленно вращать внешний цилиндр, то ничего неожиданного не произойдет (фиг. 41.8, а).

Фиг. 41.8. Виды потока жидкости между двумя прозрачными вращающимися цилиндрами.

Можно медленно вращать и внутренний цилиндр, все равно ничего потрясающего не будет. А вот если мы начнем очень быстро вращать внутренний цилиндр — случится нечто удивительное. Жидкость разобьется на горизонтальные полосы (фиг. 41.8, б). Если с подобной же скоростью мы будем вращать внешний цилиндр, а внутренний оставим в покое, то никакого похожего эффекта не возникает. Как же получается, что не все равно, какой цилиндр вращать — внутренний или внешний. Ведь в конце концов вид потока, который мы нашли в § 1, зависел только от ω_b-ω_а. Ответ можно получить, взглянув на сечение цилиндра, изображенного на фиг. 41.9.

Фиг. 41.9. Вот почему поток разбивается на полосы.

Когда внутренние слои жидкости движутся быстрее, чем внешние, они стремятся двигаться наружу: центробежная сила становится больше удерживающего давления. Но весь слой целиком не может двигаться равномерно, так как на его пути стоят внешние слои. Поэтому они разбиваются на клетки и циркулируют, как показано на фиг. 41.9, б. Это напоминает конвекционные токи в комнате, где на уровне пола имеется слой теплого воздуха. Когда внутренний цилиндр находится в покое, а внешний цилиндр вращается с большой скоростью, центробежные силы создают градиент давления, который удерживает все в равновесии (фиг. 41.9, в), как теплый воздух, находящийся у потолка.