Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

ЗАДАЧА О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ МНОЖЕСТВА

В предыдущей главе вы увидели, что одним из величайших открытий Георга Кантора было доказательство того, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. И действительно, его диагональный метод позволил показать, что натуральных чисел меньше, чем бесконечных последовательностей, состоящих из нулей и единиц. В первой задаче из списка Гильберта требовалось дать положительный или отрицательный ответ на вопрос о том, существует ли такое множество, кардинальное число которого будет больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества последовательностей из нулей и единиц. Благодаря трудам Курта Гёделя (1940) и математика Пола Коэна из Стэнфордского университета (1963) сегодня нам известно, что если исходить из привычной системы аксиом теории множеств, на этот вопрос нельзя дать ни положительного, ни отрицательного ответа.

* * *

Доклад Гильберта прозвучал 8 августа 1900 года. К этому времени в теории множеств уже появились первые парадоксы, однако Рассел открыл противоречие, которое заставило всех забить тревогу, лишь годом позже. Очень быстро парадокс о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе, встревожил европейские математические круги: в Англии Уайтхед предсказал конец «счастливым и спокойным будням», в Германии Фреге добавил к своим «Основам арифметики» пессимистичное предисловие, во Франции Анри Пуанкаре, враг математической логики, победно воскликнул: «Формальная логика не бесплодна: она порождает противоречия». Если от кого и ожидали ответа, то это был Давид Гильберт — его многие считали новым Евклидом благодаря опубликованной им в 1899 году системе аксиом геометрии, которая ознаменовала начало современного подхода к этой дисциплине. Тем не менее Гильберт не потрудился дать меткий ответ, который вошел бы в историю, подобно изречениям Уайтхеда, Фреге и Пуанкаре: он просто точно знал, как можно избавить математику от парадоксов.

Давид Гильберт больше всего подходил на роль того, кто покончил бы с математическими парадоксами.

Формализм Гильберта

Решение, предложенное Гильбертом, состояло из двух этапов. Сначала нужно было полностью формализовать арифметику, то есть представить все ее содержимое как формальную систему. Это следовало сделать с максимально возможной строгостью, и за этим первым этапом должен был последовать второй, на котором доказывалась бы корректность выполненной формализации. Математика, в отличие от жены Цезаря, не была выше подозрений: ее непротиворечивость следовало доказать. Для этого Гильберт предложил ряд приемов, объединенных названием «метаматематика».

Читатель справедливо заметит: какова разница между системами аксиом, которые мы рассматривали выше, и формальными системами, которые Гильберт хотел определить для арифметики? Действительно, эти понятия очень похожи, однако формальные системы обладают важным отличием: в них любое утверждение представляется в виде символов искусственного языка, лишенных конкретных значений.

Цель Гильберта понятна из его переписки, в которой он, например, объясняет, что геометрия не изменится, если вместо терминов «точка», «прямая» и «плоскость» мы напишем «любовь», «закон» и «трубочист». Как следствие, для формалиста выражения «глава третья» и «глава 3» — это два разных высказывания, единственная связь между которыми заключается в особенностях синтаксиса: оба выражения начинаются с одного и того же слова.

Основу гильбертовой формальной системы составляло множество базовых символов L, основанных на алфавите нашего языка. На их основе можно создать формулы, которые будут представлять собой не что иное, как конечные последовательности символов, составленные согласно ряду грамматических правил. Если, например, язык содержит открывающую и закрывающую скобки, то одно из его правил может звучать так: справа от каждой открывающей скобки обязательно должна быть записана закрывающая скобка.