Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

2. Меридианы и параллели отображаются как прямые, они имеют равную длину (но не равны между собой) и перпендикулярны друг другу.

3. Меридианы распределены равномерно вследствие того, что масштаб во всех точках каждой параллели постоянен, однако масштабы на разных параллелях отличаются. Параллели распределены неравномерно и сближаются друг с другом по мере приближения к полюсам.

4. Так как проекция является равновеликой, она сохраняет площади (с учетом коэффициента масштаба поверхности). Этот коэффициент возникает при уменьшении размеров земной сферы (то есть при гомотетии) и постоянен во всех точках карты. Однако величины углов и геодезические линии не сохраняются.

3. Искажение форм, углов и расстояний вблизи экватора очень мало и растет по мере приближения к полюсам.

Вернемся к основному вопросу этой главы — как изменяются площади, углы и геодезические линии в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта? Чтобы доказать, что эта проекция сохраняет площади, достаточно показать, что она сохраняет площади «прямоугольных» (достаточно малых, то есть бесконечно малых) участков, сторонами которых являются меридианы и параллели.

Как показано на следующем рисунке, для данной точки сферы на широте φ отображением меридиана (достаточно малого) длины l будет отрезок прямой на поверхности цилиндра длиной l' = l·cos φ, а отображением параллели (достаточно малой) длины k будет дуга окружности на поверхности цилиндра, длина которой будет равна k' = k/cos φ. Следовательно, бесконечно малый «прямоугольник» с основанием k и высотой l на поверхности сферы, площадь которого равна l·k, преобразуется в «прямоугольник» с основанием k' = k/cos φ и высотой l' = l·cos φ. Площадь полученного прямоугольника также будет равна l·k. Как следствие, проекция Архимеда сохраняет площади неизменными.

Напомним, что в этой книге мы приводим только интуитивно понятные доказательства в духе классической геометрии. Более строгое доказательство требует использования дифференциальной геометрии и методов математического анализа.

Проекция Архимеда является равновеликой.

Тем не менее величины углов на карте, выполненной в проекции Ламберта, не сохраняются. Чтобы убедиться в этом, посмотрите на предыдущий рисунок. В силу искажений меридианов (они сжимаются) и параллелей (они расширяются) угол между основанием и диагональю прямоугольника на сфере будет больше, чем этот же угол в проекции прямоугольника на плоскость. Однако прямые углы между меридианами и параллелями сохраняются. Из вышеизложенного можно сделать вывод о необходимых и достаточных условиях сохранения величин углов.

1. Должны сохраняться углы между меридианами и параллелями (эти углы прямые, то есть равны 90°).

2. Искажение в направлении меридианов μ должно быть равно искажению в направлении параллелей λ.

По теореме Пифагора, если оба этих свойства выполняются, то искажения в любом направлении всегда будут одинаковыми. В частности, мы показали, что для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта искажение в направлении меридианов равно μ = cos φ, искажение в направлении параллелей — λ = 1/cos φ, а круг, центром которого является точка на сфере, в этой проекции преобразуется в эллипс на плоскости, вытянутый в направлении «запад — восток». На следующей иллюстрации изображены эллипсы, построенные в различных участках Земли, которые позволяют увидеть искажения на различных широтах.

Индикатриса Тиссо, или эллипс искажения — один из способов графического изображения искажений на карте. В разных участках земной поверхности строятся небольшие окружности, после чего по их проекциям на карте можно увидеть проективные искажения в различных участках карты. Так, если мы примем радиус окружности равным λ, она преобразуется в эллипс, длины полуосей которого будут равны λ и μ. Если λ = μ, то эллипсы примут форму окружностей, а отображение будет конформным. При λ = 1/ μ отображение будет равновеликим. На иллюстрации представлена индикатриса Тиссо для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.

Наконец, очевидно, что эта проекция не сохраняет геодезические линии, за исключением меридианов и экватора. Вывод таков: равновеликие проекции могут не быть изометрическими, и одного лишь сохранения площадей для создания точной карты Земли недостаточно.

Цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции