Том 3. Квантовая механика

То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть ^Q — любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики. К примеру, за ^Q мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под ^Q подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали ^Q по-своему. В частности, через ^R_y(θ) мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси у на угол θ». Под ^Q мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной. Оператор ^Q мы будем называть оператором симметрии для системы.

Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.

Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния |ψ₁>, а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние |ψ₂>. Напишем

(15.6)

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию ^Q. Состояние |ψ₁> преобразится в состояние |ψ'₁>, которое также записывается в виде ^Q|ψ₁>. А состояние |ψ₂> превращается в |ψ'₂>=^Q|ψ₂>. И вот, если физика симметрична относительно ^Q (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

е m — некоторое веществе(15.7)

[Как в (15.5).] Но вместо |ψ'₁> можно написать ^Q|ψ₁>, а вместо |ψ₂> написать ^Q |ψ₂>, так что (15.7) переписывается в виде

(15.8)

Теперь, если |ψ₂> заменить на ^U |ψ₁> [см. (15.6)], то получим

(15.9)

Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если только ^U при отражении не меняется.

А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном состоянии |ψ₁>, то на самом деле это уравнение для операторов

(15.10)

Это-то мы и хотели получить — математическую формулировку симметрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы ^U и ^Q коммутируют. Тогда «симметрию» можно определить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции ^Q, когда ^Q коммутирует с ^U (с операцией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразования ^Q, выполняется и для матриц ^Q и ^U.]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени 8 мы имеем [7=1 — i^Hε/ℏ, где ^H — обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)], то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и

(15.11)

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора ^Q. Она определяет симметрию.

§ 2. Симметрия и ее сохранение

Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия оператора ^Q на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние |ψ'>=^Q|ψ₀>. физически совпадает с состоянием |ψ₀>. Это значит, что |ψ'> равняется |ψ₀>, если не считать некоторого фазового множителя[59]. Как это себе представлять? Пусть, например, имеется ион H₂⁺ в состоянии, которое мы когда-то обозначали |I>. У этого состояния имеется одинаковая амплитуда побывать в базисных состояниях |1> и |2>. Вероятности показаны столбиками на фиг. 15.3, а.

Фиг. 15.3. Состояние |I> и состояние ^P|I>, получаемые отражением |I> в плоскости, проходящей посредине между атомами в ионе Н₂⁺.