Том 3. Квантовая механика

где а=<i|а> — амплитуда, когда нет других фотонов. Если воспользоваться формулой (2.24), то амплитуда обратного перехода — от (n+1) фотонов к n фотонам — равна

(2.26)

Но обычно говорят иначе; людям не нравится думать о переходе от (n+1) к n, они всегда предпочитают исходить из того, что имелось n фотонов. Поэтому говорят, что амплитуда поглощения фотона, если имеется n других, иными словами, перехода от n к (n-1), равна

(2.27)

Это, разумеется, просто та же самая формула (2.26). Но тогда возникает новая забота — помнить, когда пишется √n и когда √(n+1). Запомнить это можно так: множитель всегда равен корню квадратному из наибольшего числа имевшихся в наличии фотонов, все равно — до реакции или после. Уравнения (2.25) и (2.26) свидетельствуют о том, что закон на самом деле симметричен; несимметрично он выглядит лишь тогда, когда его записывают в виде (2.27).

Из этих новых правил проистекает множество физических следствий; мы хотим привести одно из них, касающееся испускания света. Представим случай, когда фотоны находятся в ящике, — можете вообразить, что ящик имеет зеркальные стенки. Пусть в этом ящике в одном и том же состоянии (с одними и теми же частотой, поляризацией и направлением) имеется n фотонов, так что их нельзя друг от друга отличить, и пусть в ящике имеется атом, который может испустить еще один фотон в таком же состоянии. Тогда вероятность того, что он испустит фотон, равна

(2.28)

а вероятность того, что он фотон поглотит, равна

(2.29)

где |а|² — вероятность того, что он испустил бы фотон, если бы не было этих n фотонов. Мы уже говорили об этих правилах немного по-иному в гл. 42 (вып. 4). Выражение (2.29) утверждает, что вероятность того, что атом поглотит фотон и совершит переход в состояние с более высокой энергией, пропорциональна интенсивности света, освещающего его. Но, как впервые указал Эйнштейн, скорость, с которой атом переходит в более низкое энергетическое состояние, состоит из двух частей. Есть вероятность |а|² того, что он совершит самопроизвольный переход, и есть вероятность вынужденного перехода n|а|², пропорциональная интенсивности света, т. е. числу имеющихся фотонов. Далее, как заметил Эйнштейн, коэффициенты поглощения и вынужденного испускания равны между собой и связаны с вероятностью самопроизвольного испускания. Здесь же мы выяснили, что если интенсивность света измеряется количеством имеющихся фотонов (вместо того, чтобы пользоваться энергией в единице объема или в секунду), то коэффициенты поглощения, вынужденного испускания и самопроизвольного испускания все равны друг другу. В этом смысл соотношения между коэффициентами А и В, выведенного Эйнштейном [см. гл. 42 (вып. 4), соотношение (42.18)].

§ 5. Спектр абсолютно черного тела

Мы хотим теперь использовать наши правила для бозе-частиц, чтобы еще раз получить спектр излучения абсолютно черного тела [см. гл. 42 (вып. 4)]. Мы сделаем это, подсчитав, сколько фотонов содержится в ящике, если излучение находится в тепловом равновесии с атомами в ящике. Допустим, что каждой световой частоте ω соответствует определенное количество N атомов с двумя энергетическими состояниями, отличающимися на энергию ΔЕ=ℏω (фиг. 2.6).

Фиг. 2.6. Излучение и поглощение фотона с частотой ω.

Состояние с меньшей энергией мы назовем «основным», с большей — «возбужденным». Пусть N_осн и N_возб — средние числа атомов в основном и возбужденном состояниях; тогда для теплового равновесия при температуре Т из статистической механики следует

(2.30)

Каждый атом в основном состоянии может поглотить фотон и перейти в возбужденное состояние, и каждый атом в возбужденном состоянии может испустить фотон и перейти в основное состояние. При равновесии скорости этих двух процессов должны быть равны. Скорости пропорциональны вероятности событий и количеству имеющихся атомов. Пусть ^—n — среднее число фотонов, находящихся в данном состоянии с частотой ω. Тогда скорость поглощения из этого состояния есть N_осн^—n|а|², а скорость испускания в это состояние есть N_возб(^—n+1)|а|². Приравнивая друг другу эти две скорости, мы получаем

(2.31)

Сопоставляя это с (2.30), имеем

Отсюда найдем

(2.32)

Это и есть среднее число фотонов в любом состоянии с частотой ω при тепловом равновесии в полости. Поскольку энергия каждого фотона ℏω, то энергия фотонов в данном состоянии есть ^—nℏω, или

(2.33)

Кстати говоря, мы уже получали подобное выражение в другой связи [см. гл. 41 (вып. 4), формула (41.15)]. Вспомните, что для гармонического осциллятора (скажем, грузика на пружинке) квантовомеханические уровни энергии находятся друг от друга на равных расстояниях ℏω, как показано на фиг. 2.7.

Фиг. 2.7. Уровни энергии гармонического осциллятора.