Том 3. Квантовая механика

Теперь наши результаты мы обобщим на три измерения. Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси. Случай двух измерений дан на фиг. 2.9.

Фиг. 2.9. Типы стоячих волн в двух измерениях.

Каждое направление и частота волны описываются вектором волнового числа k. Его х-, у- и z-компоненты должны удовлетворять уравнениям типа (2.34). Стало быть, мы имеем

Число типов колебаний с k_x в интервале Δk_x, как и прежде, равно

то же и с Δk_y, и с Δk_z. Если обозначить через Δℜ(k) число таких типов колебаний, в которых векторное волновое число k обладает х-компонентой в интервале от k_x до k_x+Δk_x, у-компонентой в интервале от k_y до k_y+Δk_y и z-компонентой в интервале от k_z до k_z +Δk_z, то

(2.37)

Произведение L_x L_y L_z — это объем V ящика. Итак, мы пришли к важному результату, что для высоких частот (длин волн, меньших, чем габариты полости) число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему V и «объему в k-пространстве» Δk_хΔk_yΔk_z. Этот результат то и дело появляется то в одной, то в другой задаче, и его стоит запомнить:

(2.38)

Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы ящика.

Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Δω. Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных колебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина k связана с частотой формулой

(2.39)

Значит, в интервал частот Δω попадают все моды, отвечающие векторам k, величина которых меняется от k до k+Δk независимо от направления. «Объем в k-пространстве» между k и k+Δk — это сферический слой, объем которого равен

Количество собственных колебаний (мод) тогда равно

(2.40)

Однако раз нас интересуют частоты, то надо подставить k=ω/c, и мы получаем

(2.41)

Но здесь возникает одно усложнение. Если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каждому данному волновому вектору k может соответствовать любая из двух поляризаций (перпендикулярных друг другу). Поскольку эти собственные колебания независимы, то нужно (для света) удвоить их число. И мы имеем

(2.42)

Мы показали уже [см. (2.33)], что каждое собственное колебание (мода, тип колебаний, «состояние») обладает в среднем энергией

Умножая это на число собственных колебаний, мы получаем энергию ΔЕ, которой обладают собственные колебания, лежащие в интервале Δω:

(2.41)

Это и есть закон для спектра частот излучения абсолютно черного тела, найденный нами уже однажды в гл. 41 (вып. 4). Спектр этот вычерчен на фиг. 2.10.

Фиг. 2.10. Спектр частот излучения в полости при тепловом равновесии (спектр «абсолютно черного тела»). На оси ординат отложена величина x³/e^x—1 (x=ℏω/kT), отличающаяся от de/dω постоянным множителем (πℏ)²(c/kT)³V^-1.

Вы теперь видите, что ответ зависит от того факта, что фотоны являются бозе-частицами — частицами, имеющими тенденцию собираться всем вместе в одном и том же состоянии (амплитуда такого поведения велика). Вы помните, что именно Планк, изучавший спектр абсолютно черного тела (который представлял загадку для классической физики) и открывший формулу (2.43), положил тем самым начало квантовой механике.

§ 6. Жидкий гелий