Том 3. Квантовая механика

Но вот что интересно: если известно, что молекула в определенный момент была в определенном состоянии, то в следующий момент она может уже не быть в том же состоянии. Два С-коэффициента меняются со временем в соответствии с уравнениями (6.43), которые верны для любой системы с двумя состояниями. Предположим, к примеру, что вы сделали какое-то наблюдение (или как-то отобрали молекулы), так что знаете, что первоначально молекула находилась в состоянии |1>. Чуть позже уже появляются некоторые шансы засечь ее в состоянии |2>. Чтобы узнать, сколь велики эти шансы, нужно решить дифференциальное уравнение, которое говорит, как амплитуды меняются со временем.

Единственная трудность в том, что мы не знаем, что ставить вместо коэффициентов Н_ij в (6.43). Но кое-что мы все же можем сказать. Предположим, что, если уж молекула оказалась в состоянии |1>, тогда у нее не будет никакого шанса когда-либо попасть в состояние |2>. И наоборот. Тогда H₁₂ и H₂₁ будут оба равны нулю, и (6.43) примет вид

Эти уравнения легко решить; получается

(6.45)

Это просто амплитуды стационарных состояний с энергиями E₁=H₁₁ и E₂=H₂₂. Еще мы знаем, что у молекулы аммиака состояния |1> и |2> обладают определенной симметрией. Если природа ведет себя более или менее разумно, то матричные элементы Н₁₁ и H₂₂ должны равняться друг другу. Мы обозначим их через Е₀, потому что они соответствуют энергии, которой обладали бы состояния, будь H₁₂ и H₂₁ равны нулю.

Но (6.45) не отражает того, что на самом деле бывает с аммиаком. Оказывается, что аммиак имеет возможность протолкнуть свой азот мимо трех водородов и перебросить его по ту сторону. Это очень трудно: чтобы азоту пройти полпути, нужна немалая энергия. Как же он может пройти на другую сторону, если он не располагает достаточной энергией? Просто имеется некоторая амплитуда того, что он проникнет сквозь энергетический барьер. В квантовой механике разрешается быстро проскакивать через энергетически нелегальную область. Стало быть, существует небольшая амплитуда того, что молекула, начав с состояния |1>, перейдет в состояние |2>. Коэффициенты Н₁₂ и Н₂₁ на самом деле не равны нулю. И опять из симметрии ясно, что они должны быть одинаковы, по крайней мере по величине. И действительно, мы уже знаем, что вообще Н_ij равняется комплексно сопряженной величине Н_ji, т. е. они могут отличаться только фазой. Оказывается, как вы потом увидите, что без потери общности можно положить эти коэффициенты равными друг другу. Позднее нам будет удобнее считать их равными отрицательному числу; мы примем поэтому H₁₂=H₂₁=-А. Тогда получится следующая пара уравнений:

(6.46)

(6.47)

Эти уравнения достаточно просты и могут быть решены разным путем. Удобно решать их так. Складывая их, получаем

с решением

(6.48)

Вычитая затем (6.47) из (6.46), получаем

что дает

(6.49)

Две постоянные интегрирования мы обозначили а и b; их надо выбрать так, чтобы получились подходящие начальные условия данной физической задачи. Наконец, складывая и вычитая (6.48) и (6.49), получаем C₁ и С₂:

(6.50)

(6.51)

Они отличаются только знаком при втором слагаемом.

Решения-то мы получили, но что они значат? (В квантовой механике трудность не только в том, чтобы получить решения, но и в том, чтобы разобраться в их смысле!) Заметьте, что при b=0 оба решения обладают одинаковой частотой ω=(E₀-A)/ℏ. Если все меняется с одной частотой, это значит, что система пребывает в состоянии с определенной энергией, в данном случае с энергией (Е₀-А). Значит, существует стационарное состояние с такой энергией; в нем обе амплитуды С₁ и C₂ равны друг другу. Мы приходим к выводу, что молекула аммиака обладает определенной энергией (Е₀-А), если для атома азота одинакова амплитуда оказаться «вверху» и «внизу».

Имеется другое допустимое стационарное состояние, когда а=0; тогда обе амплитуды обладают частотой (E₀+A)/ℏ. Значит, имеется другое состояние с определенной энергией (Е₀+А), когда две амплитуды равны, но отличаются знаком: C₂=-C₁. Вот и все состояния с определенной энергией. В следующей главе мы поговорим о состояниях молекулы аммиака подробнее; здесь же мы отметим еще только некоторые особенности.

Мы приходим к заключению, что из-за того, что имеется некоторая вероятность перескока атома азота из одного положения в другое, энергия молекулы равна не просто Е₀, как можно было ожидать, но обладает двумя энергетическими уровнями (Е₀+А) и (Е₀-А). Каждое из возможных состояний молекулы, какую бы энергию оно ни имело, «расщепляется» на два уровня. Мы говорим «каждое из состояний», потому что, как вы помните, мы выбрали какое-то определенное состояние вращения с определенной внутренней энергией и т. д. И для каждых мыслимых условий подобного рода возникает (из-за возможности переворота молекулы) пара энергетических уровней.