Том 3. Квантовая механика

Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U(t₂, t₁) для бесконечно малого интервала времени — для t₂=t₁+Δt. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние φ, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время Δt? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |ψ(t)> (мы указываем зависимость ψ от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время Δt? Ответ таков:

(6.31)

Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить χ в момент t+Δt есть

(6.32)

Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на <i|, получаем

(6.33)

Можно также разложить и |ψ(t)> на базисные состояния и написать

(6.34)

Понять это можно так. Если через C_i(t)=<i|ψ|(t)> обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое С_i становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды С_i меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+Δt) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U-матрицу через U_ij, считая, что

Тогда (6.34) можно записать так:

(6.35)

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.

Нам пока мало известно об U_ij. Мы знаем только, что при Δt, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, U_ij→1 и U_ij→0 при i≠j. Иными словами, U_ij→δ_ij при Δt→0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из U_ij обязан отличаться от δ_ij на величину, пропорциональную Δt; так что можно писать

(6.36)

Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов К_ij выносят множитель[20] (-i/ℏ); предпочитают писать

(6.37)

Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов H_ij(t). Члены H_ij — это как раз производные по t₂ от коэффициентов U_ij(t₂, t₁), вычисляемые при t₂=t₁=t,

Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем

(6.38)

Суммируя члены с δ_ij, получаем просто C_i(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Δt мы распознаем в этом производную

или

(6.39)

Вы помните, что С_i(t) — это амплитуда <i|ψ> обнаружить состояние ψ в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов <i|ψ> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние ψ, раз мы описываем ψ через амплитуды < i|ψ>. Изменение ψ со временем описывается через матрицу Н_ij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу H_ij, которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.

(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)

§ 5. Гамильтонова матрица

Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомеханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний i и написать физические законы, задавая матрицу коэффициентов Н_ij. Тогда у нас будет все, что нужно, — мы сможем отвечать на любой вопрос о том, что случится. Нам остается выучить правила, по которым находят Н в соответствии с данной физической обстановкой: какое Н отвечает магнитному полю, какое электрическому и т. д. Это самая трудная часть дела. К примеру, для новых странных частиц мы совершенно не представляем, какие Н_ij употреблять. Иными словами, никто не знает полного H_ij для всего мира. (Частично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Н_ij, раз никому не известно, каковы базисные состояния!) Мы действительно владеем превосходными приближениями для нерелятивистских явлений и некоторых других особых случаев. В частности, мы знаем вид Н_ij, требуемый для движений электронов в атомах — для описания химии. Но мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной.