Том 3. Квантовая механика

На самом деле частота ω берется всегда очень близкой к резонансной частоте молекулярного перехода ω₀=2A/ℏ, но пока мы для общности будем считать ω произвольной. Лучший способ решить наши уравнения — это, как и прежде, составить из C₁ и С₂ линейные комбинации. Сложим поэтому оба уравнения, разделим на √2 и вспомним определения С_I и С_II из (7.13). Получим

(7.38)

Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая уравнения (7.36), получаем

(7.39)

Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труднее, чем прежде, потому что ℰ зависит от t; и действительно, при общем ℰ(t) решение не представимо в элементарных функциях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем

(7.40)

Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве γ_I и γ_II две комплексные постоянные, мы бы получили правильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоянии |I> есть квадрат модуля C_I, а вероятность быть в состоянии |II> есть квадрат модуля С_II, то вероятность быть в состоянии |I> или в состоянии |II> равна просто |γ_I|² или |γ_II|². Например, если бы система начинала развиваться из состояния |II> так, что γ_I было бы нулем, а |γ_II|²— единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния |II> никогда бы не перешла в состояние |I>.

Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид и тогда, когда есть электрическое поле, если только μℰ меньше А, только γ_I и γ_II при этом станут медленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняющиеся» означает медленно в сравнении с экспоненциальными функциями. В этом весь фокус. Для получения приближенного решения используется тот факт, что γ_I и γ_II меняются медленно.

Подставим теперь С_I из (7.40) в дифференциальное уравнение (7.39), но вспомним, что γ_I тоже зависит от t. Имеем

Дифференциальное уравнение обращается в

(7.41)

Равным образом уравнение для dC_II/dt обращается в

(7.42)

Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого уравнения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на exp(+E_It/ℏ), а второе на exp(+E_IIt/ℏ). Вспоминая, что (E_I-E_ii)=2А=ℏω₀, мы в конце концов получаем

(7.43)

Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная. Производная от одной переменной есть функция от времени μℰ(t)exp(iω₀t), умноженная на вторую переменную; производная от второй — такая же функция от времени, умноженная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не решаются, но в некоторых частных случаях мы решим их.

Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай колеблющегося электрического поля. Взяв ℰ(t) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для γ_I и γ_II обратятся в

(7.44)

И вот если ℰ₀ достаточно мало, то скорости изменения γ_I и γ_II тоже будут малы. Обе γ не будут сильно меняться с t, особенно в сравнении с быстрыми вариациями, вызываемыми экспоненциальными членами. У этих экспоненциальных членов есть вещественные и мнимые части, которые колеблются с частотой ω+ω₀ или ω-ω₀. Члены с частотой ω+ω₀ колеблются вокруг среднего значения (нуля) очень быстро и поэтому не дадут сильного вклада в скорость изменения γ. Значит, можно сделать весьма разумное приближение, заменив эти члены их средним значением, т. е. нулем. Их просто убирают и в качестве приближения берут

(7.45)

Но даже и оставшиеся члены с показателями, пропорциональными (ω-ω₀), меняются быстро, если только ω не близко к ω₀. Только тогда правая сторона будет меняться достаточно медленно для того, чтобы набежало большое число, пока интегрируешь эти уравнения по t. Иными словами, при слабом электрическом поле изо всех частот представляют важность лишь те, которые близки к ω₀.

При тех приближениях, которые были сделаны для того, чтобы получить (7.45), эти уравнения можно решить и точно; но работа эта все же трудоемкая, и мы отложим ее на другое время, когда обратимся к другой задаче того же типа. Пока же мы их просто решим приближенно, или, лучше сказать, найдем точное решение для случая идеального резонанса ω=ω₀ и приближенное — для частот близ резонанса.

§ 4. Переходы при резонансе

Первым рассмотрим случай идеального резонанса. Если положить ω=ω₀, то экспоненты в обоих уравнениях (7.45) станут равными единице, и мы просто получим

(7.46)

Если из этих уравнений исключить сперва γ_I, а потом γ_II, то мы увидим, что каждое из них удовлетворяет дифференциальному уравнению простого гармонического движения

(7.47)

Общее решение этих уравнений может быть составлено из синусов и косинусов. Легко проверить, что решениями являются следующие выражения:

(7.48)

где а и b — константы, которые надо еще определить так, чтобы они укладывались в ту или иную физическую ситуацию.