Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

В этом случае указанное диофантово уравнение не имеет решений. Так формулируется знаменитая теорема Ферма, доказанная в 1995 году. Десятая проблема Гильберта была не столь «простой» и звучала принципиально иначе: в ней требовалось найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли решения произвольное диофантово уравнение. К счастью, сегодня мы знаем, что такого алгоритма не существует. Для решения десятой проблемы Гильберта потребовалось не 300 лет, как на доказательство теоремы Ферма, но целых 70, а также ряд блестящих идей.

В 1961 году, когда Джулии было чуть за 40, прогнозы врачей подтвердились: ей потребовалась операция на сердце. К счастью, кардиохирургия в те годы была уже достаточно развитой, и лечение прошло успешно. Однако сердце Джулии было слишком слабым, и ей нельзя было перенапрягаться. В результате, когда в 1976 году она стала профессором Калифорнийского университета в Беркли, руководству пришлось согласиться с тем, что преподавать Джулия будет всего на четверть ставки. После операции Джулии порекомендовали езду на велосипеде, и она отдалась этому занятию с такой страстью, что стала покупать велосипеды один за другим, стремясь найти самый легкий и управляемый. Ее муж жаловался: «Другие жены покупают пальто или бриллиантовые браслеты, а моя жена покупает велосипеды».

В 1984 году у Джулии Робинсон обнаружили лейкемию. Благодаря лечению болезнь отступила, но ненадолго: исследовательница умерла в 1985 году.

Десятая проблема Гильберта

На математическом конгрессе 1900 года Давид Гильберт, ведущий математик мира, представил список из 23 нерешенных задач. Решение этих задач, по его мнению, означало бы существенное развитие математики. Гильберт предполагал (для тех времен такая точка зрения была вполне логичной), что любая проблема имеет решение, и рано или поздно все 23 его проблемы будут решены. Сегодня нам известно, что Гильберт ошибался: спустя много лет Курт Гёдель доказал, что существуют задачи, парадоксальным образом не имеющие решения. Между прочим, одной из подобных неразрешимых проблем оказалась континуум-гипотеза — первая же проблема в списке Гильберта. Вне зависимости от того, будем мы считать континуум-гипотезу истинной или ложной, в рамках формальной логики мы никогда не придем к какому-либо противоречию.

Диофантовыми называются полиномиальные уравнения вида

Р(х₁, х₂, …, х_n) = 0

с решениями и коэффициентами на множестве . Проблема Гильберта под номером 10 звучала так: существует ли алгоритм или метод, позволяющий определить, имеет ли решения произвольное диофантово уравнение? В конце концов в 1970 году было доказано, что такого алгоритма не существует. Десятая проблема Гильберта допускает бесконечное множество случаев. Известны подмножества случаев, для которых искомый спасительный алгоритм существует, однако в задаче требуется найти универсальный алгоритм для всех возможных случаев. К примеру, алгоритм Евклида позволяет решить диофантовы уравнения вида

ax ± by = с,

но не уравнения произвольного вида (указанные уравнения имеют решения тогда и только тогда, когда НОД (а, Ь) является делителем с). Путь к решению десятой проблемы Гильберта непрост, и многие не сразу поймут его. Но мы все же попытаемся описать ее решение, пусть и очень поверхностно.

В 1950 году Джулия Робинсон, применив некоторые свойства уравнения Пелля, не смогла доказать, что определенное числовое множество, которое мы обозначим JR в честь Джулии Робинсон (его нельзя построить, но можно определить в терминах общей арифметики), является диофантовым (см. врезку, посвященную Алану Тьюрингу), но не вычислимым. Множество JR обладало некоторыми интересными свойствами — в частности, его элементы возрастали по экспоненциальному закону.

Доказать указанное свойство не удалось, однако эта гипотеза с высокой вероятностью считалась истинной. Далее будем называть эту гипотезу гипотезой JR. В 1959 году Мартин Дэвис и Хилари Патнем доказали, что при определенных условиях из гипотезы JR следует очень важный результат: любое рекурсивно перечислимое множество является диофантовым. Если выполняются начальные условия и гипотеза JR, то десятую проблему Гильберта можно считать решенной, и ответ на нее будет отрицательным.

* * *