Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

ОПАСНОСТЬ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Как уже говорилось в предыдущей главе, к 90-м годам XX века теорема была доказана для всех показателей степени вплоть до 4 000 000. Если теорема Ферма верна для таких больших степеней, почему математики так стремились доказать ее для всех возможных показателей? Ведь практически невозможно, чтобы внезапно, словно с неба, появился непостижимо большой показатель степени, для которого теорема Ферма будет ложной. Не слишком ли щепетильным было математическое сообщество? Оставив в стороне вопросы психологии, скажем, что в случае с гипотезой, согласно которой бесконечное множество чисел обладает определенным свойством, никакая выборка «экспериментальных» данных, сколь велика бы она ни была, не может являться доказательством. Математика строится на доказательствах, то есть на непогрешимых истинах, и благодаря этому является столь мощным инструментом науки. И кроме того, история математики знает примеры, когда, вопреки изначальным предположениям, гипотезы оказывались ложными.

Например, Эйлер предположил, что следующее уравнение не имеет решений:

x⁴ + у⁴ + z⁴ = w⁴.

Компьютеры буквально дымились от непрерывных вычислений, но в течение многих десятилетий опровергнуть гипотезу Эйлера не удавалось. Был велик соблазн предположить, что гипотеза Эйлера верна для всех случаев, но в 1988 году Ноам Элкис потряс все научное сообщество, найдя контрпример:

2 682 440⁴ + 15 365 639⁴  + 187 960⁴  = 20 615 673⁴.

Более того, Элкис не остановился на этом: он не просто нашел решение, но и доказал, что их бесконечно много. Конечно, он пользовался компьютером, но сам по себе компьютер не способен найти решение.

* * *

Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Фрэнк Уайлс, преподавал богословие. Однако докторскую диссертацию Уайлс защитил уже в Кембридже под руководством австралийца Джона Коутса. Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США и стал одним из редакторов престижного журнала «Анналы математики». Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «Я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было непохоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, — одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история. Как бы то ни было, в 1986 году Рибет доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

Подсчет бесконечностей