Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ

Хотя ни одной из теорем не удалось стать такой же известной, как великая теорема Ферма, в математике существует несколько гипотез, доказательство каждой из которых становится настоящим историческим событием. Среди них — гипотеза Гольдбаха и «первая среди равных» гипотеза Римана, которые относятся к теории чисел, а также задача о равенстве классов Р и NP — ключевая задача вычислений. В топологии такой важной задачей является так называемая гипотеза Пуанкаре. К удивлению многих, в 2002–2003 годах российский математик Григорий Перельман опубликовал схему доказательства этой гипотезы, которое затем было дополнено другими учеными и в 2006 году было официально признано верным. Перельман, блестящий и в такой же степени экстравагантный математик, отказался от присужденной ему в том же году Филдсовской премии и, ссылаясь на то, что научный мир погряз в нечестности, спустя некоторое время полностью оставил математику. Как и для остальных задач, включенных Институтом Клэя в 1999 году в список семи задач тысячелетия, доказательство гипотезы Пуанкаре было оценено в один миллион долларов. В 2010 году Перельман отказался от этого вознаграждения.

Филдсовская медаль, от которой отказался Перельман, была присуждена ему за доказательство гипотезы Пуанкаре.

* * *

Получить какое-то визуальное представление модулярной формы невозможно. Достаточно сказать, что она находится в четырехмерном пространстве, которое подчиняется законам геометрии, мало похожим на привычные нам. В повседневной жизни нам известно, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной, о чем писал еще Евклид. Однако начиная с XIX века известно, что это утверждение не является необходимым и продиктовано лишь соображениями удобства. Можно определить альтернативную геометрию, в которой параллельных прямых не существует вовсе либо, напротив, через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В последнем случае речь идет о так называемой гиперболической геометрии, в которой плоскость, представленная в двух измерениях, принимает следующие формы:

Параллельные линии в гиперболической геометрии.

В своеобразном мире гиперболической геометрии, где обитают модулярные формы, они обладают удивительными свойствами симметрии, подобно редчайшим цветам. Для определения модулярных форм математики используют так называемые бесконечные М-ряды, каждому из элементов которых соответствует число, означающее количество «ингредиента» 1, 2, 3, … модулярной формы.

Связующее звено: гипотеза Таниямы — Симуры

В середине 1950-х годов Япония все еще пыталась оправиться от последствий Второй мировой войны. Экономика страны понемногу восстанавливалась, но жизнь по-прежнему была непростой. От недостатка средств пострадали и университеты. Оплачиваемых должностей научных сотрудников было немного, и за них разворачивалась жесткая конкуренция. Если сфера интересов исследователя была слабо связана с практикой, то ситуация становилась еще сложнее. Трудности, которые предстояло преодолеть тем, кто хотел заниматься чистой математикой, могли охладить пыл даже самых настойчивых кандидатов.