Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

В глазах математического сообщества гипотеза Таниямы — Симуры и последняя теорема Ферма не имели ничего общего, разве что обе они являлись гипотезами. Но, как мы уже заметили, поиск соотношения между на первый взгляд совершенно разными понятиями, никак не связанными между собой, — одна из главных задач математики. В данном конкретном случае неожиданные параллели обнаружил немецкий математик Герхард Фрай, который занимался теорией чисел. Его привлекала взаимосвязь между этой областью и алгебраической геометрией, и блестящим примером этому служила гипотеза Таниямы — Симуры. В 1978 году он ознакомился с работами американского математика Барри Мазура и был очень впечатлен ими. В них устанавливалась связь между такими понятиями, как модулярность и эллиптические кривые, и Фрай стал работать над тем, чтобы сделать эту взаимосвязь более явной (исходная статья Мазура по этой теме называлась «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна», и среди наиболее увлеченных ее читателей были Кен Рибет и Эндрю Уайлс). Фрай начал вынашивать удивительную идею, которую постарался окончательно оформить за те несколько недель, пока был в Гарварде, где преподавал Мазур. Наконец, в 1984 году на нескольких математических конференциях, прошедших в районе Обервольфах в Германии, Фрай сформулировал гипотезу, которая открыла новый, революционный путь к доказательству последней теоремы Ферма.

Его гипотеза звучала так: пусть дано произвольное решение уравнения этой теоремы, например, а^p + b^р = с^р. Тогда существует эллиптическая кривая вида у² = х(х — а^p)(х + b^p), где а, b и с — целые, положительные и взаимно простые, а р — простое число, большее 2. Эта кривая принадлежит к особой группе эллиптических кривых, названных позднее кривыми Фрая и обладающих очень интересной особенностью: они не являются модулярными. Но гипотеза Таниямы — Симуры утверждала, что все эллиптические кривые являются модулярными. Отсюда следует, что если гипотеза Таниямы — Симуры верна, то «отклонений», подобных кривым Фрая, то есть кривых, которые одновременно являются эллиптическими и немодулярными, не существует. Если же гипотеза Фрая была верна, учитывая, что все возможные решения уравнения теоремы Ферма представляли собой кривую Фрая, то гипотеза Таниямы — Симуры о несуществовании таких кривых означала бы, что уравнение теоремы не имеет решений, следовательно… теорема Ферма доказана! Как мы увидим чуть позже, эта неожиданная связь между гипотезами стала для Уайлса точкой опоры, на которой основывалось его доказательство.

Хотя идеи Фрая были очень привлекательными, было ясно, что его гипотеза все еще недостаточно конкретна, чтобы другие математики могли заняться ее доказательством. Для окончательного оформления предположения немецкого математика в виде гипотезы, требовались «математические мускулы». Говоря о «математических мускулах» в контексте математики последних 75 лет, невозможно обойти вниманием французского математика Жан-Пьера Серра (р. 1926). Он — один из всего двух математиков (второй — американец Джон Григгс Томпсон), которые были удостоены двух престижнейших премий по математике: Филдсовская премия была вручена Серру в 1954-м, а Абелевская — в 2003 году. Серр — самый молодой из лауреатов Филдсовской премии: он получил ее в возрасте 27 лет. Его достижение равносильно получению двух Нобелевских премий.

Французский математик Жан-Пьер Серр на церемонии вручения Абелевской премии 3 июня 2003 года

 _{(фотография предоставлена Институтом Абеля)}

Серр, который в 1955 году участвовал в семинаре, проводимом Таниямой и Симурой, заинтересовался гипотезой Фрая и написал письмо своему коллеге и соотечественнику Жан-Франсуа Местру. Позднее он оформил это письмо в виде статьи. В этой статье он использовал формулировки, несколько отличающиеся от тех, которыми пользовался Фрай (заполнив пробелы с помощью так называемых модулярных представлений Галуа), и предположение Фрая официально стало считаться гипотезой. Если эта гипотеза, получившая название эпсилон-гипотезы, была верна, то между гипотезой Таниямы — Симуры и великой теоремой Ферма устанавливалась следующая взаимосвязь: если первая была верной, то вторая — ложной, и наоборот.

* * *