Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Джеймс Клерк Максвелл

301. Если мы запишем составляющие электродвижущей силы в виде производных от потенциала V, уравнение непрерывности

(15)

в однородной среде примет форму

₁

d^2V

dx^2

₂

d^2V

dy^2

₃

d^2V

dz^2

₁

d^2V

dydz

₂

d^2V

dzdx

₃

d^2V

dxdy

(16)

Если среда не является однородной, в уравнение войдут члены, обусловленные изменением коэффициентов проводимости при переходе от одной точки к другой.

Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде.

302. Если положить

[rs]

₁

₂

₃

₁

₂

₃

₁

₂

₃

(17)

[AB]

₁

₂

₃

₁

₂

₃

₁

₂

₃

(18)

где

[rs]

₁

₂

₃

-s

₁

[rs]

₁

₂

₃

-r

₁

…

(19)

и т.д., то система A,B будет обратна системе r,s, и, если обозначим

₁

x^2

₂

y^2

₃

z^2

₁

₂

₃

[AB]

(20)

мы найдём, что выражение

(21)

является решением этого уравнения.

В случае, когда коэффициенты T равны нулю, коэффициенты A и B совпадают с коэффициентами R и S из п. 299. При наличии T этого не происходит.

Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.

Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси x, y, z главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм s и B обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы A будет обратен соответствующему коэффициенту формы r. Выражение для будет

x^2

r₁

y^2

r₂

z^2

r₃

r₁r₂r₃

(22)

303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трёх переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики ². Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот, с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную-функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения.

² Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.

Коэффициенты T₁, T₂, T₃ могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора T, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин t₁, t₂, t₃, которые являются составляющими другого вектора t.

Векторы T и t вообще говоря, не совпадают по направлению.

Выберем теперь ось z так, чтобы она совпадала с вектором T, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму

₁

₃

₂

₃

₂

₁

₂

₁

₃

(23)

Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов R и S, а вторая - только от T. Часть, зависящая от R и S, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от T, равна по величине произведению T на слагающую тока, перпендикулярную к оси T, и направлена перпендикулярно к T и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси T.

Если мы рассматриваем ток и T как векторы, то часть электродвижущей напряжённости, обусловленная T, есть векторная часть произведения Txток.

Коэффициент T может быть назван Вращательным коэффициентом. У нас есть основания полагать, что этот коэффициент не существует ни в одном из известных веществ. Если где-либо этот коэффициент и мог бы быть обнаружен, то в магнитах, имеющих поляризацию в одном направлении, вероятно, вызванную явлением вращения в этом веществе.

304. Предполагая теперь, что вращательный коэффициент отсутствует, мы покажем, как можно распространить теорему Томсона, изложенную в п. 100а-100д, чтобы доказать, что тепло, производимое токами в рассматриваемой системе за данное время, есть единственный минимум.

Для упрощения алгебраических расчётов выберем оси координат так, чтобы свести выражение (9), а следовательно, и выражение (10) к трём слагаемым. Рассмотрим теперь общее характеристическое уравнение (16), которое тогда сводится к виду

₁

d^2V

dx^2

₂

d^2V

dy^2

₃

d^2V

dz^2

(24)

Обозначим также через a, b, c три функции от x, y, z, удовлетворяющих условию