Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Разделив (13) на r^2 и восстанавливая координаты x и y, приходим к уравнению

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

.

(14)

Это основополагающее уравнение теории: оно выражает связь между функцией и нормальной к диску составляющей магнитной силы .

Пусть Q - потенциал в какой-либо точке с положительной стороны диска, обусловленный воображаемой притягивающей материей, распределённой по диску с поверхностной плотностью .

На положительной стороне диска

dQ

dz

=

-2

.

(15)

Поэтому левая часть уравнения (14) преобразуется к виду

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=-

1

2

d

dz

d^2Q

dx^2

+

d^2Q

dy^2

.

(16)

Но поскольку Q удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, внешних относительно диска, то

d^2Q

dx^2

+

d^2Q

dy^2

=

-

d^2Q

dz^2

(17)

и уравнение (14) принимает вид

2

d^3Q

dz^3

=

.

(18)

Далее, поскольку Q есть потенциал, обусловленный распределением то потенциал, создаваемый распределением или d/d будет равен dQ/d. Отсюда для магнитного потенциала, обусловленного токами в диске, получаем

=-

d^2Q

ddz

(19)

а для нормальной к диску составляющей магнитной силы, создаваемой токами,

=-

d

dz

=

d^3Q

ddz^2

.

(20)

Если обозначить через магнитный потенциал, обусловленный внешними магнитами, и записать

P'

=-

dz

,

(21)

то создаваемая этими магнитами нормальная к диску составляющая магнитной силы будет равна

=

d^2P'

dz^2

.

(22)

Помня, что =+ мы можем теперь переписать уравнение (18) в виде

2

d^3Q

dz^3

-

d^3Q

ddz^2

=

d^2P'

dz^2

.

(23)

Дважды интегрируя по z и вводя вместо /(2) величину R, получаем

R

d

dz

-

d

d

Q

=

P'

.

(24)

Если выразить величины P и Q через расстояние от оси диска r и через две новые переменные и , такие, что

2

=

z

+

R

,

2

z

-

R

,

(25)

то уравнение (24) после интегрирования по примет вид

Q

=

R

P'

d

.

(26)

669. Вид этого выражения показывает, что магнитное действие токов в диске эквивалентно магнитному действию дорожки изображений магнитной системы, имеющей форму спирали.

Если магнитная система состоит из одиночного магнитного полюса единичной мощности, то спираль будет навита на поверхность цилиндра, проходящую через этот полюс и имеющую общую ось с диском. Начало спирали совпадает с положением оптического изображения полюса в диске. Расстояние между последовательными витками, параллельное оси, будет равно 2(R/). Магнитное действие дорожки изображений оказывается таким же, как если бы спираль была всюду намагничена в тангенциальном направлении к цилиндру перпендикулярно его оси с интенсивностью, при которой магнитный момент любого маленького участка спирали численно равен длине его проекции на диск.

Вычислить воздействие на магнитный полюс довольно сложно, однако легко видеть, что оно состоит из: (1) увлекающей силы, параллельной направлению движения диска; (2) силы отталкивания от диска; (3) силы, направленной в сторону оси диска.

Когда полюс находится вблизи края диска, третья из этих сил может быть подавлена силой, направленной в сторону края диска, на что указывалось в п. 667.

Араго наблюдал все эти силы и описал их в Annales de Chimie за 1826 г. См. также работу Феличи (Felici) в журнале Тортолини (Tortolini’s Annals, IV, p. 173 (1853) и V, p. 35), а также работу Джокмана (Jochmann) в Crelle's Journal, XIII, p. 158 и 329 и Pogg. Ann., XXII, p. 214 (1864). В последней работе приведены уравнения, необходимые для отыскания самоиндукции токов, но эта часть воздействия при получении последующих результатов опущена. Описанный здесь метод изображений был опубликован в Proceedings of the Royal Society for Feb. 15, 1872.

Сферический токовый лист

670. Пусть есть функция тока в какой-либо точке Q сферического токового листа, а P - потенциал, создаваемый в данной точке слоем воображаемой материи, распределённой по сфере с поверхностной плотностью . Требуется отыскать магнитный потенциал и вектор-потенциал токового слоя, выраженные через P.

Рис. 39

Пусть a - радиус сферы, r - расстояние от центра до данной точки, а p - обратное расстояние между данной точкой и точкой на сфере Q. в которой функция тока равна [рис. 39].

Действие токового листа в какой-либо точке вне его вещества совпадает с действием магнитной оболочки, мощность которой в любой точке численно равна функции тока.

Взаимный потенциал магнитной оболочки и единичного полюса, помещённого в точку P, согласно п. 410, равны

=

dp

da

dS

.

Так как p является однородной функцией степени -1 по r и по a, то

a

dp

da

+

r

dp

dr

=-

p

,

или

dp

da

=-

1

a

d

dr

(pr)

,

и

=-

a

d

dr

(pr)

dS

.

Поскольку на поверхности интегрирования величины r и a постоянны, то

=-

1

a

d

dr

r

p

dS

.

Но поскольку P есть потенциал, обусловленный слоем воображаемой материи с поверхностной плотностью , то P=pdS, поэтому магнитный потенциал токового листа Q может быть выражен через P в виде

=-

1

a

d

dr

(Pr)

.

671. Из приведённого в п. 416 выражения мы можем определить величину x-составляющей вектор-потенциала F:

F

=

m

dp

d

-

n

dp

d

dS

,

где , , - координаты элемента dS, а l, m, n - направляющие косинусы нормали.

Так как токовый лист имеет форму сферы, направляющие косинусы нормали равны

l

=

a

,

m

=

a

,

n

=

a

,

Но

dp

d

=

(z-)p^3

=-

dp

dz

,

и

dp

d

=

(z-)p^3

=-

dp

dy

,

так что

m

dp

d

-

n

dp

d

=

{(z-)-(y-)}

p^3

a

,

=