Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

{z(-y)-y(-z)}

p^3

a

,

=

z

a

dp

dy

-

y

a

dp

dz

.

Умножая последнее выражение на dS и интегрируя по поверхности сферы, находим

F

=

z

a

dP

dy

-

y

a

dP

dz

.

Аналогично

G

=

x

a

dP

dz

-

z

a

dP

dx

,

H

=

y

a

dP

dx

-

x

a

dP

dy

.

Вектор A, составляющими которого являются F, G, H, очевидно, перпендикулярен к радиус-вектору r и вектору, компоненты которого равны dP/dx, dP/dy, dP/dz. Если мы найдём линии пересечения сферической поверхности радиуса r с семейством эквипотенциальных поверхностей, соответствующих значениям P, меняющимся по арифметической прогрессии, то направление этих линий определит направление вектора A, а их плотность - величину этого вектора.

На языке кватернионов

A

=

1

a

V.P

.

672. Если предположить, что внутри сферы величина P равна

P

=

A

r

a

i

Y

_i

,

где Y_i есть сферическая гармоника порядка i, то вне сферы

P'

=

A

r

a

i+1

Y

_i

.

Функция тока , поскольку

dP

dr

-

dP'

dr

r=a

=

4

,

определяется равенством

=

2i+1

4

·

1

a

AY

_i

.

Магнитный потенциал внутри сферы равен

=

-(i+1)

1

a

A

r

a

i

Y

_i

,

а вне сферы

'

=

i

1

a

A

a

r

i+1

Y

_i

,

Пусть, например, при помощи провода, свёрнутого в форме сферической оболочки, необходимо создать внутри этой оболочки однородную магнитную силу M. В этом случае магнитный потенциал оболочки представляется объёмной гармоникой первого порядка и имеет вид =-Mr cos , где M есть магнитная сила . Отсюда

A

=

1

2

aM

и

=

3

8

Ma

cos

.

Функция тока, таким образом, пропорциональна расстоянию от экваториальной плоскости сферы, и поэтому число витков провода между любыми двумя малыми кругами должно быть пропорционально расстоянию между плоскостями этих кругов.

Если N есть полное число витков, а - сила тока в каждом из них, то = 1/2 N cos .

Отсюда магнитная сила внутри катушки равна

M

=

4

3

N

a

.

673. Теперь определим способ намотки провода, приводящий к созданию внутри сферы магнитного потенциала в виде объёмной зональной гармоники второго порядка:

=

-3

1

a

A

r^2

a^2

3

2

cos^2

-

1

2

.

Здесь

=

5

4

A

a

3

2

cos^2

-

1

2

.

Если полное число витков равно N. то число витков, укладывающихся между полюсом и полярным углом , будет 1/2 Nsin^2.

Плотнее всего витки расположены на широте 45°. На экваторе направление намотки меняется, и в другой полусфере витки имеют противоположное направление.

Пусть есть сила тока в проводе, тогда внутри оболочки

=-

4

5

N

r^2

a^2

3

2

cos^2

-

1

2

.

Рассмотрим теперь проводник в форме плоской замкнутой кривой, расположенный в произвольном месте внутри оболочки в плоскости, перпендикулярной её оси. Для определения коэффициента индукции проводника мы должны найти Поверхностный интеграл от -d/dz по плоской площадке, ограниченной этой кривой, положив =1.

В этом случае

=-

4

5a^2

N

z^2

-

1

2

(x^2+y^2)

и

-

d

dz

=

8

5a^2

N

·

z

.

Следовательно, если S есть площадь, ограниченная замкнутой кривой, то её коэффициент индукции равен

M

=

8

5a^2

NSz

.

Если ток в этом проводнике равен ', то, согласно п. 583, должна существовать сила Z, действующая на проводник в направлении z, равная

Z

=

'

dM

dz

=

8

5a^2

NS

'

,

и, поскольку это выражение не зависит от x, y, z, сила оказывается одной и той же, в какую бы часть оболочки ни был помещён данный контур.

674. Метод, предложенный Пуассоном и описанный в п. 437, может быть применён к токовым листам, если вместо тела, которое предполагается однородно намагниченным в z-направлении с интенсивностью I, взять токовый лист, имеющий форму поверхности тела и обладающий функцией тока, равной

=

Iz

.

(1)

Токи, текущие по листу, расположены в плоскости, параллельной плоскости xy сила тока, циркулирующего по срезу толщиной dz, равна Idz.

В любой точке вне токового листа магнитный потенциал, обусловленный им, равен

=-

I

dV

dz

,

(2)

где V - потенциал, создаваемый листом с единичной поверхностной плотностью. В произвольной точке внутри оболочки потенциал равен

=-

4Iz

-

I

dV

dz

.

(3)

Составляющие вектор-потенциала равны

F

=

I

dV

dy

,

G

=-

I

dV

dx

,

H

=

0,

(4)

Эти результаты могут быть применены к различным случаям, возникающим на практике.

675. (1). Плоский электрический контур произвольной формы.

Пусть V есть потенциал, создаваемый плоским листом произвольной формы, имеющим единичную поверхностную плотность; тогда, если этот лист заменить либо на магнитную оболочку мощности I, либо на электрический ток силы I, текущий по её границе, величины , и F, G, H будут иметь значения, приведённые выше.

(2). Для сплошного шара радиуса a

V

=

4

3

a^3

r

,

когда

r

больше

a

,

(5)

и

V

=

2

3

(3a^2-r^2)

,

когда

r

меньше

a

.

(6)

Следовательно, если такой шар намагничен параллельно направлению z с интенсивностью I, то магнитный потенциал равен

=

4

3

I

a^3

r^3

z

вне шара

(7)

и

=

4

3

Iz

внутри шара.

(8)

Если вместо намагничивания обмотать шар эквидистантно расположенными круговыми витками с током так, чтобы суммарная сила тока между двумя малыми окружностями, плоскости которых находятся на единичном расстоянии друг от друга, была I, то вне шара значения остаётся прежним, а внутри станет равным

=-

8

3

Iz

.

(9)

Этот случай уже обсуждался в п. 672.

(3). Случай эллипсоида, однородно намагниченного параллельно некоторой заданной линии, тоже уже обсуждался в п. 437.

Если эллипсоид обмотан проводом по параллельным и эквидистантным плоскостям, то магнитная сила внутри него будет однородной.