Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Второй член равен нулю, если точка (,,) не принадлежит магниту, в противном случае он равен 4, где - значение в точке (,,). Поверхностный интеграл можно выразить через величину r, равную длине отрезка между точками (x,y,z) и (,,), и через угол , который этот отрезок образует с внешней нормалью к элементу поверхности dS, так что потенциал можно записать в виде

V

=

1

r^2

cos

dS

+

4

,

где второй член, конечно, равен нулю, если точка (,,), не принадлежит веществу магнита.

Потенциал V, выражаемый этим уравнением, непрерывен даже на поверхности магнита, где значение скачком обращается в нуль, потому что, если записать

=

1

r^2

cos

dS

,

и обозначить через ₁ значение в точке, непосредственно находящейся на поверхности, а ₂ - значение в точке, близкой к первой, но вне поверхности, то

₂

=

₁

+

4

,

или

V

₂

=

V

₁

.

Величина не является непрерывной на поверхности магнита.

Составляющие магнитной индукции связаны с уравнениями

a

=

-

d

dx

,

b

=

-

d

dy

,

c

=

-

d

dz

.

416. В случае ламеллярного распределения магнетизма мы можем упростить также и вектор-потенциал магнитной индукции.

Его x-составляющую можно записать:

F

=

d

dy

dp

dz

-

d

dz

dp

dy

dx

dy

dz

.

Интегрируя по частям, мы можем представить это в виде поверхностного интеграла:

F

=

m

dp

dz

-

n

dp

dy

dS

,

или

F

=

-

p

m

d

dz

-

n

d

dy

dS

.

Остальные составляющие вектор-потенциала можно получить, сделав соответствующие замены в этих выражениях.

О телесных углах

417. Мы уже доказали, что потенциал, создаваемый магнитной оболочкой в произвольной точке P, равен мощности оболочки, умноженной на телесный угол, опирающийся на её край. Поскольку нам придётся ещё раз обратиться к телесным углам в теории электрических токов, мы сейчас объясним, как их можно измерять.

Определение. Телесный угол с вершиной в данной точке, опирающийся на замкнутую кривую, измеряется площадью сферической поверхности единичного радиуса с центром в данной точке, границей которой служит след пересечения сферы с радиус-вектором при его движении по замкнутой кривой. Эта площадь должна считаться положительной или отрицательной в соответствии с тем, лежит ли она по левую или по правую сторону относительно движения радиус-вектора, видимого из данной точки.

Обозначим заданную точку через (,,) а точку на замкнутой кривой через (x,y,z). Координаты x, y, z являются функциями длины кривой s, отсчитываемой от некоторой точки, причём периодическими функциями s, восстанавливающими свои значения при увеличении s на полную длину замкнутой кривой.

Мы можем вычислить телесный угол непосредственно из его определения следующим образом. Используя сферические координаты с центром в (,,) и полагая

x-

=

r

sin

cos

,

y-

=

r

sin

sin

,

z-

=

r

cos

,

найдём путём интегрирования площадь внутри произвольной кривой на сфере:

=

(1-cos )

d

,

или в прямоугольных координатах

=

d

-

s

0

z-

r{(x-)^2+(y-)^2}

(x-)

dy

ds

-

(y-)

dx

ds

ds

,

где интегрирование производится по замкнутой кривой s.

Если ось z проходит один раз сквозь замкнутую кривую, то первый член равен 2. Если же ось z не проходит сквозь неё, первый член равен нулю.

418. Этот метод вычисления телесного угла содержит произвольный до некоторой степени выбор оси и не зависит только лишь от вида замкнутой кривой. Поэтому для геометрической строгости уместно предложить следующий метод, в котором не предусматривается построение никаких поверхностей. Пусть по мере того как радиус-вектор, выходящий из данной точки, описывает замкнутую кривую, плоскость, проходящая через эту точку, катится по замкнутой кривой таким образом, что последовательно становится касательной плоскостью в каждой точке кривой. Проведём из данной точки перпендикулярно этой плоскости отрезок единичной длины. При качении плоскости по замкнутой кривой конец перпендикуляра описывает вторую замкнутую кривую, полярную по отношению к первой. Пусть её длина равна , тогда телесный угол, опирающийся на первую кривую, будет равен =2-.

Это следует из хорошо известной теоремы о том, что площадь, ограниченная замкнутой кривой на сфере единичного радиуса, вместе с периметром полярной кривой численно равны длине большой окружности сферы.

Такое построение удобно иногда для вычисления телесного угла, опирающегося на контур, составленный из отрезков прямых. Для нашей цели, которая состоит в формировании ясных представлений о физических явлениях, более предпочтителен метод, излагаемый далее, поскольку в нём не используется никаких построений, не вытекающих непосредственно из физических данных о проблеме.

419. Замкнутая кривая s задана в пространстве, и мы должны найти телесный угол с вершиной в точке P, опирающийся на s.