Читаем Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2. полностью

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Важность магнитной индукции как физического понятия будет видна более отчётливо при изучении электромагнитных явлений. Когда магнитное поле создаётся движущимся проводом, как в опытах Фарадея (Exp. Res. 3076), непосредственно измеряемой величиной является именно магнитная индукция, а не магнитная сила.

Вектор-потенциал магнитной индукции

405. Как показано в п. 403, поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит от этой кривой, но не зависит от формы ограничиваемой ею поверхности; поэтому должен существовать способ определения потока индукции внутри замкнутой кривой с помощью процедуры, зависящей только от характера кривой и не включающей конструкцию поверхности, которая диафрагмирует эту кривую.

Это можно сделать, отыскав вектор A, связанный с магнитной индукцией B таким образом, чтобы линейный интеграл от A по замкнутой кривой был равен поверхностному интегралу от по поверхности, ограниченной этой кривой.

Обозначив, как и в п. 24, через F, G, H составляющие A, через a, b, c составляющие B, получим между ними следующую связь:

(21)

Вектор A с составляющими F, G, H называется вектор-потенциалом магнитной индукции.

Поместим в начало координат магнитную молекулу с моментом m и направлением оси намагниченности (,,). Согласно п. 387, её потенциал в точке (x,y,z), на расстоянии r от начала координат будет равен

-m

;

d^2

dxdz

d^2

dydz

d^2

dz^2

С помощью уравнения Лапласа последнему выражению можно придать вид

Аналогично можно преобразовать величины a, b.

Следовательно,

m(z-y)

r^3

Составляющие G, H можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.

Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности A, B, C в точке (x,y,z) составляющие вектор-потенциала в точке (,,) равны

(22)

где через p для краткости обозначено обратное расстояние между точками (,,) и (x,y,z), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.

406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид

(23)

Помня, что

= -

и что интеграл

d^2p

dx^2

d^2p

dy^2

d^2p

dz^2

равен -4(A), когда точка (,,), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (A) - значение A в точке (,,), получаем для x-составляющей магнитной индукции

d^2p

dyd

d^2p

dzd

d^2p

dxd

d^2p

dxd

d^2p

dx^2

d^2p

dy^2

d^2p

dz^2

(24)

Первый член этого выражения равен, очевидно, -dV/d или составляющей магнитной силы .

Величина же, стоящая под знаком интеграла во втором члене, равна нулю для любого элемента объёма, кроме того, в котором находится точка (,,). Легко показать, что второй член равен 4(A), где (A) - значение A в точке (,,); во всех точках вне магнита величина (A) равна нулю.

Теперь можно x-составляющую магнитной индукции записать в виде

4(A)

(25)

что равнозначно первому из уравнений, приведённых в п. 400; уравнения для b и c также совпадают с соответствующими уравнениями п. 400.

Как мы уже видели, магнитная сила вычисляется через скалярный потенциал V путём применения к нему оператора Гамильтона ; следуя п. 17, можно записать

(26)

это уравнение справедливо как вне, так и внутри магнита.

Из проведённых сейчас исследований явствует, что магнитная индукция вычисляется через вектор-потенциал A путём применения к нему того же самого оператора; и этот результат справедлив внутри магнита так же, как вне его.

Применение этого оператора к векторной функции может дать в общем случае и скалярную и векторную величину. Однако скалярная часть, названная нами конвергенцией векторной функции, исчезает, если векторная функция удовлетворяет условию соленоидальности