Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

402. Поток магнитной индукции через поверхность S определяется как величина интеграла

Q

=

B

cos

dS

,

(9)

где B - величина магнитной индукции на элементе поверхности dS, - угол между направлением индукции и нормалью к элементу поверхности; интегрирование распространяется на всю поверхность, которая может быть либо замкнутой поверхностью, либо поверхностью, ограниченной некоторой замкнутой кривой.

Если обозначить составляющие магнитной индукции через a, b, c и направляющие косинусы нормали через l, m, n, то поверхностный интеграл может быть записан в виде

Q

=

(

la

+

mb

+

nc

)

dS

.

(10)

Выражая составляющие магнитной индукции через составляющие намагниченности и магнитной силы, как в п. 400, получим

Q

=

(

l

+

m

+

n

)

dS

+

4

(

lA

+

mB

+

nC

)

dS

.

(11)

Предположим теперь, что поверхность, по которой производится интегрирование, замкнута, и исследуем значения величин двух членов в правой части этого уравнения.

Математическая форма связи между магнитной силой и свободным магнетизмом такая же, как между электрической силой и свободным электричеством, поэтому мы можем применить результаты п. 77 к первому члену выражения для Q, заменив составляющие электрической силы X, Y, Z в п. 77 на составляющие магнитной силы , , , а алгебраическую сумму свободного электричества e на алгебраическую сумму свободного магнетизма M.

Таким образом, получаем уравнение

(

l

+

m

+

n

)

dS

=

4M

.

(12)

Так как каждая магнитная частица имеет два полюса одинаковой величины и противоположных знаков, алгебраическая сумма магнетизма частицы равна нулю. Поэтому частицы, которые целиком находятся внутри замкнутой поверхности S, не могут дать вклада в алгебраическую сумму магнетизма внутри S, т.е. величина M должна зависеть только от магнитных частиц, которые рассечены поверхностью S.

Рассмотрим маленький элемент магнита длиной s с поперечным сечением k^2, намагниченный в направлении его длины так, что мощность его полюсов равна m Момент этого небольшого магнита равен ms, а намагниченность, равная от ношению магнитного момента к объёму,

I

=

m

k^2

(13)

Пусть этот маленький магнит так рассечён поверхностью S, что направление намагниченности образует с наружной нормалью к поверхности угол ', тогда, если обозначить через dS площадь сечения,

k^2

=

dS

cos '

.

(14)

Отрицательный полюс этого магнита -m находится внутри поверхности S.

Следовательно, если обозначить через dM вклад этого маленького магнита в ту часть свободного магнетизма, которая находится внутри S, то

dM

=

-m

=

-Ik^2

=

-I

cos '

dS

.

(15)

Для того чтобы найти алгебраическую сумму свободного магнетизма M внутри замкнутой поверхности S, необходимо проинтегрировать это выражение по замкнутой поверхности S:

M

=-

I

cos '

dS

,

или через составляющие намагниченности A, B, C и направляющие косинусы наружной нормали l, m, n:

M

=-

(

lA

+

mB

+

nC

)

dS

.

(16)

Это даёт значение интеграла во втором члене правой части уравнения (11). Величину Q в (11) можно, таким образом, найти, используя уравнения (12) и (16):

Q

=

4M

-

4M

=

0,

(17)

или интеграл от магнитной индукции, взятый по произвольной замкнутой поверхности, равен нулю.

403. Если предположить, что замкнутая поверхность есть поверхность дифференциального элемента объёма dxdydz, мы получим уравнение

da

dx

+

db

dy

+

dc

dz

=

0.

(18)

Это есть условие соленоидальности, которому всегда удовлетворяют составляющие магнитной индукции.

Так как распределение магнитной индукции соленоидально, то поток индукции через любую поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит только от формы и положения этой замкнутой кривой и не зависит от формы и положения самой поверхности.

404. Поверхности, во всех точках которых

la

+

mb

+

nc

=

0,

(19)

называются поверхностями с нулевым потоком индукции, а пересечение двух этих поверхностей называется линией индукции. Условия, при которых некоторая кривая s может быть линией индукции, таковы:

1

a

dx

ds

=

1

b

dy

ds

=

1

c

dz

ds

(20)

Совокупность линий индукции, проведённых через каждую точку замкнутой кривой, образует трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции.

Поток индукции через любое сечение такой трубки одинаков. Если поток индукции в трубке равен единице, она называется единичной трубкой индукции.

Всё, что Фарадей² говорит о магнитных силовых линиях и магнитных «спондилоидах» (sphondiloids), математически верно, если под ними понимать линии и трубки магнитной индукции.

² Exp. Res., series XXVIII.

Вне магнита магнитная сила и магнитная индукция совпадают, однако внутри вещества магнита их следует тщательно различать.

В случае прямого однородно намагниченного стержня магнитная сила, создаваемая самим магнитом, направлена от конца, указывающего на север (мы называем его положительным полюсом), к южному концу (отрицательному полюсу) как внутри магнита, так и вне его.

С другой стороны, магнитная индукция вне магнита тоже направлена от положительного полюса к отрицательному, но внутри магнита - от отрицательного полюса к положительному, так что линии и трубки индукции образуют сами в себя входящие, или замкнутые, кривые.