Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для W в уравнении (3) п. 389 по x, y и z, считая , , и r постоянными.

Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками V₀, V₁ и V₂, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:

lK

=

A

dx

dy

dz

,

mK

=

B

dx

dy

dz

,

mK

=

C

dx

dy

dz

;

(6)

L

=

Ax

dx

dy

dz

,

M

=

By

dx

dy

dz

,

N

=

Cz

dx

dy

dz

;

(7)

P

=

(Bz+Cy)

dx

dy

dz

,

Q

=

(Cx+Az)

dx

dy

dz

,

R

=

(Ay+Bx)

dx

dy

dz

.

(8)

Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (,,), находим

W

=

K

l+m+n

r^3

+

^2(2L-M-N)+^2(2M-N-L)

r⁵

+

+

3(P+Q+R)

r⁵

+ и т.д.

(9)

Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (,,).

О центре магнита и о главной и побочных осях магнита

392. Это выражение можно упростить, изменив направление координатных осей и положение начала координат. Прежде всего направим ось x параллельно оси магнита. Это эквивалентно тому, что

l

=

1,

m

=

0,

n

=

0.

(10)

Если перенести начало координат в точку (x',y',z'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы lK, mK и nK останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом:

L'

=

L

-

lKx'

,

M'

=

M

-

mKy'

,

N'

=

N

-

nKz'

(11)

P'

=

P

-

K(mz'+ny')

,

Q'

=

Q

-

K(nx'+lz')

,

R'

=

R

-

K(ly'+mx')

.

(12)

Если сделать направление оси x параллельным оси магнита и положить

x'

=

2L-M-N

2K

,

y'

=

R

K

,

z'

=

Q

K

,

(13)

то для новых осей значения M и N останутся прежними, а значение L' окажется равным (M+N)/2; не изменится также и величина P, в то время как Q и R обратятся в нуль. Следовательно, мы можем для потенциала записать

K

r^3

+

3/2·(^2-^2)(M-N)+3P

r⁵

+ ….

(14)

Мы нашли, следовательно, фиксированную относительно магнита точку, такую, что если её выбрать в качестве начала координат, второй член в разложении потенциала выразится в наиболее простой форме; поэтому эту точку можно определить как центр магнита, а проведённую через неё ось в направлении, ранее названном направлением магнитной оси, определить как главную ось магнита.

Мы можем упростить результат ещё больше, повернув оси y и z вокруг оси x на половину угла, тангенс которого равен P/(M-N). Тогда P станет равным нулю, и окончательное выражение для потенциала примет вид

K

r^3

+

3

2

(^2-^2)(M-N)

r⁵

+ и т.д.

(15)

Это есть простейшая форма представления первых двух членов потенциала магнита. Оси y и z, направленные таким образом, могут быть названы побочными осями магнита.

Центр магнита мы можем определить и иначе, отыскав такое положение начала координат, при котором поверхностный интеграл от квадрата второго члена в разложении потенциала, взятый по сфере единичного радиуса, минимален.

Величина, которую следует сделать минимальной, согласно п. 141 равна

4(L^2+M^2+N^2-MN-NL-LM)

+

3(P^2+Q^2+R^2)

.

(16)

Изменения значений этой величины, вызванные изменением положения начала координат, можно вывести из уравнений (11) и (12). Условия минимума следующие:

2l(2L-M-N)

+

3nQ

+

3mR

=

0,

2m(2M-N-L)

+

3lR

+

3nP

=

0,

2n(2N-L-M)

+

3mP

+

3lQ

=

0.

(17)

Если положить l=1, m=0, n=0, то эти условия станут такими:

2L-M-N

=

0,

Q

=

0,

R

=

0,

(18)

т.е. они совпадут с условиями, использованными в предыдущем рассмотрении.

Это исследование можно сравнить с тем, которое проводится при разложении потенциала системы, состоящей из гравитирующей материи. Там наиболее удобной точкой при выборе начала координат является центр тяжести системы, а наиболее удобными осями - проходящие через эту точку главные оси инерции.

В случае магнита точка, соответствующая центру тяжести, бесконечно удалена в направлении оси, и то, что мы назвали центром магнита, по своим свойствам отличается от центра тяжести. Величины L, M, N соответствуют моментам инерции, а P, Q, R - произведениям инерции материального тела с той разницей, что L, M, N не должны быть обязательно положительными.

Когда центр магнита взят в качестве начала координат, то сферическая гармоника второго порядка становится секторной,а её ось совпадает с осью магнита; ни для какой другой точки это не справедливо.

Когда магнит, как в случае тела вращения, симметричен по всем направлениям относительно этой оси, что член, содержащий гармонику второго порядка, полностью исчезает.