Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

где l, m, n - направляющие косинусы оси h то потенциал, обусловленный магнитной молекулой с магнитным моментом m₁ и осью, параллельной h₁ помещённой в начало координат, будет равен

V

₁

=-

d

m

₁

=

m

₁

₁

,

dh

₁

r

r^2

(2)

где ₁ - косинус угла между h₁ и r.

Если имеется вторая магнитная молекула с моментом m₂ и осью, параллельной h₂, помещённая в точке, где оканчивается радиус-вектор r, то потенциальная, энергия, обусловленная действием одного магнита на другой, будет равна

W

=

m

₂

dV

dh₂

=-

m

₁

m

₂

d^2

dh₁dh₂

1

r

,

(3)

=

m₁m₂

r^3

(

₁₂

-3

₁

₂

)

,

(4)

где ₁₂ - косинус угла между осями, а ₁ и ₂ косинусы углов между радиус-вектором и осями.

Определим далее момент пары сил, с которым первый магнит стремится повернуть второй вокруг его центра.

Предположим, что второй магнит повернулся на угол d в плоскости, перпендикулярной некоторой третьей оси h₃; тогда работа, совершенная против магнитных сил, будет равна (dW/d)d, а момент сил, действующий на магнит в этой плоскости,

-

dW

d

=-

m₁m₂

r^3

d₁₂

d

-

3

₁

d₂

d

.

(5)

Истинный момент, действующий на второй магнит, можно, следовательно, рассматривать как результирующую двух пар сил: первая действует в плоскости, параллельной осям обоих магнитов, и стремится увеличить угол между ними; её момент равен

m₁m₂

r^3

sin(h

₁

h

₂

)

,

(6)

в то время как вторая действует в плоскости, проходящей через r и ось второго магнита, и стремится уменьшить угол между этими направлениями; она имеет момент

3m₁m₂

r^3

cos(rh

₁

)

sin(rh

₂

)

,

(7)

где через (rh₁), (rh₂), (h₁h₂) обозначены углы между линиями r, h₁, h₂.

Для определения силы, действующей на второй магнит в направлении, параллельном линии h₃, необходимо вычислить

-

dV

dh₃

=

m

₁

m

₂

d^3

dh₁dh₂dh₃

1

r

,

(8)

=

-m

₁

m

₂

3!Y₃

r⁴

(по п. 129в),

=

3

m₁m₂

r⁴

{

₁

₂₃

+

₂

₃₁

+

₃

₁₂

+

₁

₂

₃

}

(9)

(по п. 133),

=

3

₃

m₁m₂

r⁴

(

₁₂

-5

₁

₂

)

+

3

₁₃

m₁m₂

r⁴

₂

+

(10)

+

3

₂₃

m₁m₂

r⁴

₁

.

Предположим, что истинная сила состоит из трёх сил - R, H₁ и H₂, действующих соответственно в направлениях r, h₁ и h₂, тогда сила в направлении h₃ будет равна

₃

R

+

₁₃

H

₁

+

₂₃

H

₂

.

(11)

Поскольку направление h₃ произвольно, мы должны иметь

R

=

3m₁m₂

r⁴

(

₁₂

-5

₁

₂

)

,

H

₁

=

3m₁m₂

r⁴

₂

,

H

₂

=

3m₁m₂

r⁴

₁

.

(12)

Сила R является отталкивающей - она стремится увеличить r; силы H₁ и H₂ действуют на второй магнит в направлении осей первого и второго магнита соответственно.

Этот анализ сил, действующих между двумя маленькими магнитами, был впервые проведён профессором Тэтом в терминах кватернионного анализа в Quarterly Math. Journ. за январь 1860. См. также его работу по кватернионам (Quaternions, Arts 442-443, 2nd Edition).

Частные случаи расположения магнитов

388. (1). Если ₁ и ₂ одинаковы и равны единице, т.е. оси магнитов лежат на одной прямой и направлены вдоль неё, то ₁₂=1 и сила отталкивания между магнитами будет равна

R

+

H

₁

+

H

₂

=-

6m₁m₂

r⁴

(13)

Отрицательный знак указывает на притяжение.

(2). Если ₁ и ₁ равны нулю, а ₁₂ - единице, т.е. оси магнитов параллельны друг другу и перпендикулярны r, то сила окажется отталкивающей и равной

3m₁m₂

r⁴

(14)

ни в одном из этих случаев не возникает никаких вращающих моментов.

(3). Если

₁

=1

и

₂

=0

, то

₁₂

=1

.

(15)

Сила 3m₁m₂/r⁴ будет действовать на второй магнит в направлении его оси, а пара сил с моментом 2m₁m₂/r³ будет стремиться развернуть его параллельно первому магниту. Это эквивалентно действию одной силы 3m₁m₂/r⁴, параллельной оси второго магнита и пересекающей радиус-вектор r в точке, отстоящей от m₂ на расстоянии двух третей его длины.

Рис. 1

На рис. 1 показаны плавающие на воде два магнита: магнит m₂ расположен на оси магнита m₁, а его собственная ось перпендикулярна оси m₁, две точки A и B, жёстко связанные соответственно с m₁ и m₂, соединены между собой нитью T. Система будет находиться в равновесии, если T пересечёт линию m₁m₂ под прямым углом в точке, отстоящей от m₁ на одну треть расстояния между m₁ и m₂.

(4) Если позволить второму магниту свободно вращаться вокруг своего центра, пока он не придёт в положение устойчивого равновесия, то при этом энергия W окажется минимальной по h₂ и, следовательно, созданная магнитом m₂ составляющая силы в направлении h₁ будет иметь максимум. Таким образом, если мы хотим с помощью магнитов с фиксированным положением центров создать в данной точке и вдоль заданного направления максимально возможную магнитную силу, то для определения нужных направлений осей магнитов, при которых достигается этот эффект, необходимо: поместить один из магнитов в заданную точку, установив его в требуемом направлении; поместить центр другого магнита в любую из остальных задаваемых точек и установить положение его оси в состоянии устойчивого равновесия. После этого следует разместить все магниты так, чтобы их оси были установлены в направлениях, указанных вторым магнитом [рис. 2].

Рис. 2

Разумеется, при выполнении этого опыта мы должны принимать во внимание земной магнетизм, если он существен.