Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Пусть 𝐴 - средний радиус катушки, ξ - её высота, η - ширина, а 𝑛 - число витков; тогда значения коэффициентов равны

𝐺₁

=

2π𝑛

𝐴

⎧

⎨

⎩

1+

1

12

ξ²

𝐴²

-

1

8

η²

𝐴²

⎫

⎬

⎭

,

𝐺₂

=

0,

𝐺₃

=

-

π𝑛

𝐴³

⎧

⎨

⎩

1+

1

2

ξ²

𝐴²

-

5

8

η²

𝐴²

⎫

⎬

⎭

,

𝐺₄

=

0

, …

Основная поправка возникает из-за 𝐺₃. Ряд 𝐺₁𝑔₁+𝐺₃𝑔₃𝑃₃'(θ) приближённо принимает вид

𝐺₁𝑔₁

⎛

⎜

⎝

1-3

1

𝐴²

𝐺₃

𝐺₁

⎛

⎜

⎝

cos²θ

-

1

4

sin²θ

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

.

Когда магнит намагничен однородно и θ=0, поправочный множитель сильнее всего отличается от единицы. В этом случае он равен 1-3(𝑙²/𝐴²). При tg θ=2, т.е. когда угол отклонения равен arctg ½, или 26°34', этот множитель обращается в нуль. Поэтому некоторые экспериментаторы проводят свои опыты так, чтобы сделать наблюдаемое отклонение максимально близким к этому углу. Однако самый лучший метод состоит в использовании такого короткого по сравнению с радиусом катушки магнита, что можно вообще пренебречь всеми поправками.

Подвешенный магнит тщательно устанавливается так, чтобы центр его как можно точнее совпадал с центром катушки. Если, однако, регулировка несовершенна и координаты центра магнита относительно центра катушки равны 𝑥, 𝑦, 𝑧, (𝑧 измеряется параллельно оси катушки), то корректирующий множитель равен

⎛

⎜

⎝

1+

3

2

𝑥²+𝑦²-2𝑧²

𝐴²

⎞

⎟

⎠

.

Для катушки большого радиуса при тщательно проведённой установке магнита мы можем считать эти поправки неощутимыми.

Прибор Гогейна (Gaugain)

712. Чтобы избавиться от поправок, связанных с величиной 𝐺₃, Гогейн сконструировал такой гальванометр, для которого этот член уменьшается до нуля; это достигается путём подвешивания магнита не в центре катушки, а в точке её оси, отстоящей от центра на половину радиуса катушки. Формула для 𝐺₃ такова:

𝐺₃

=

4π

𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)

𝐶⁷

и поскольку для этой конструкции 𝐵=𝐴/2, то 𝐺₃=0.

Эта конструкция могла бы считаться улучшенной по сравнению с предыдущей, если бы мы были уверены в том, что центр подвешенного магнита находится точно в найденной таким образом точке. Однако положение центра магнита всегда обладает некоторой неопределённостью, и эта неопределённость вводит корректирующий множитель неизвестной величины, зависящий от 𝐺₂ вида

⎛

⎜

⎝

1-

6

5

𝑧

𝐴

⎞

⎟

⎠

,

где 𝑧 - неизвестное превышение расстояния центра магнита от плоскости катушки. Эта поправка зависит от первой степени 𝑧/𝐴. Таким образом, катушка Гогейна с эксцентрически подвешенным магнитом подвержена, гораздо большим неточностям, чем прежняя конструкция.

Прибор Гельмгольца

713. Гельмгольц преобразовал гальванометр Гогейна в более надёжный прибор, поместив на том же расстоянии по другую сторону от магнита вторую катушку, одинаковую с первой.

Размещая эти катушки симметрично по обе стороны от магнита, мы сразу же избавляемся от всех членов чётного порядка.

Пусть 𝐴 - средний радиус любой из катушек; расстояние между их средними плоскостями также берётся равным 𝐴. Магнит подвешивается в средней точке их общей оси. Коэффициенты равны:

𝐺₁

=

16π𝑛

5√5

1

𝐴

⎛

⎜

⎝

1-

1

60

ξ²

𝐴²

⎞

⎟

⎠

,

𝐺₂

=

0,

𝐺₃

=

π𝑛

3√5𝐴⁵

(31ξ²-36η²)

,

𝐺₄

=

0,

𝐺₅

=

-0,73728

π𝑛

√5𝐴⁵

,

где 𝑛 обозначает число витков в обеих катушках, вместе взятых.

Из этих результатов следует, что если каркас катушки с намоткой по φ имеет прямоугольное сечение высотой ξ и шириной η, то величина 𝐺₃ с учётом поправки на конечные размеры сечения будет малой, а при отношении ξ² к η², равном 36 к 31, она обращается в ноль.

Поэтому совсем не обязательно стараться наматывать катушку на коническую поверхность, как это делалось некоторыми изготовителями приборов, ибо соответствующим условиям можно удовлетворить с помощью катушек прямоугольного сечения, которые могут быть изготовлены с гораздо большей точностью, чем катушки, намотанные на конус с широким раствором.

Расположение катушек в двойном гальванометре Гельмгольца представлено на рис. 53 в п. 725.

Поле силы, создаваемое двойной катушкой в плоскости её сечения, представлено на рис. XIX в конце данного тома.

Четырехкатушечный гальванометр

714. Комбинируя четыре катушки, можно избавиться от коэффициентов 𝐺₂, 𝐺₃, 𝐺₄, 𝐺₅, и 𝐺₆. При любой симметричной комбинации мы избавляемся от коэффициентов чётных порядков. Пусть четыре катушки будут параллельны окружностям, принадлежащими одной и той же сфере, а соответствующие им углы равны θ, φ, π-φ и π-θ.

Пусть число витков в первой и четвёртой катушках равно 𝑛, а во второй и третьей -𝑝𝑛; Тогда условие того, что для этой комбинации 𝐺₂=0, даёт

𝑛sin²θ

𝑃₃'(θ)

+

𝑝𝑛sin²φ

𝑃₃'(φ)

=

0,

(1)

а условие того, что 𝐺₅=0, даёт

𝑛sin²θ

𝑃₅'(θ)

+

𝑝𝑛sin²φ

𝑃₅'(φ)

=

0.

(2)

Полагая

sin²θ

=

𝑥

и

sin²φ

=

𝑦

(3)

и выражая 𝑃₃' и 𝑃₅' (п. 698) через эти величины, получим в качестве уравнений (1) и (2)

4𝑥

-

5𝑥²

+

4𝑝𝑦

-

5𝑝𝑦²

=

0,

(4)

8𝑥

-

28𝑥²

+

21𝑥³

+

8𝑝𝑦

-

28𝑝𝑦²

+

21𝑝𝑦³

=

0.

(5)

Дважды вычитая (4) из (5) и деля на 3, получаем

6𝑥²

-

7𝑥³

+

6𝑝𝑦²

-

7𝑝𝑦³

=

0.

(6)

Следовательно, из (4) и (6) имеем

𝑝

=

𝑥

𝑦

5𝑥-4

4-5𝑦

=

𝑥²

𝑦²

7𝑥-6

6-7𝑦

,

и мы получаем

𝑦

=

4

7

7𝑥-6

5𝑥-4

,

1

𝑝

=

32

49𝑥

7𝑥-6

(5𝑥-4)³

.