Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Пусть 𝑟 sin θ будет радиусом одной из этих окружностей, а 𝑟 cos θ - расстоянием между её центром и центром гальванометра; тогда, если 𝑙 есть длина участка провода, совпадающего с данной окружностью, а γ - текущий по нему ток, то магнитная сила в центре гальванометра, спроектированная на направление его оси, равна γ𝑙𝑟^-2 sin θ.

Если записать

𝑟²

=

𝑥²

sin θ

,

(1)

то это выражение примет вид γ𝑙/𝑥².

Рис. 51

Следовательно, если сделать поверхность, подобную одной из тех, сечения которых представлены на рис. 51 (их уравнение в полярных координатах имеет вид

𝑟²

=

𝑥₁²

sin θ

,

(2)

где 𝑥₁ - произвольная постоянная), то провод заданной длины, изогнутый в виде дуги окружности, будет производить большее магнитное действие, когда он лежит внутри этой поверхности, чем когда он находится вне её. Отсюда следует, что внешняя поверхность любого слоя провода должна иметь постоянное значение 𝑥, так как, если 𝑥 в одном месте больше, чем в другом, то можно часть провода переместить из первого места во второе и тем самым увеличить силу в центре гальванометра.

Полная сила, создаваемая катушкой, равна γ𝐺, где

𝐺

=

∫

𝑑𝑙

𝑥

,

(3)

интегрирование распространяется на всю длину провода, а 𝑥 считается функцией 𝑙.

719. Пусть 𝑦 - радиус провода, тогда площадь его поперечного сечения равна π𝑦². Пусть ρ - удельное сопротивление (отнесённое к единице объёма) материала, из которого изготовлена проволока, тогда сопротивление провода длины 𝑙 равно 𝑙ρ/(π𝑦²), а полное сопротивление катушки

𝑅

=

ρ

π

∫

𝑑𝑙

𝑦²

,

(4)

где 𝑦 рассматривается как функция 𝑙.

Пусть 𝑌² - площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с сечениями осей четырёх ближайших проводов катушки, тогда 𝑌²𝑙 есть объём, занимаемый в катушке проводом длины 𝑙 вместе с его изолирующим покрытием и той незаполненной частью пространства, которая с необходимостью остаётся между витками катушки. Следовательно, общий объём катушки равен

𝑉

=

𝑌²

𝑑𝑙

,

(5)

где 𝑌 рассматривается как функция 𝑙.

Но поскольку катушка представляет собой фигуру вращения, то

𝑉

=

2π

∬

𝑟²

sin θ

𝑑𝑟

𝑑θ

,

(6)

или, если выразить при помощи уравнения (1) 𝑟 через 𝑥

𝑉

=

2π

∬

𝑥²

(sin θ)

^5/2

𝑑𝑥

𝑑θ

.

(7)

Далее интеграл

2π

π

∫

0

(sin θ)

^5/2

𝑑θ

является численной величиной; обозначим её через 𝑁, тогда

𝑉

=

1

3

𝑁𝑥³

-

𝑉₀

,

(8)

где 𝑉₀ есть объём внутренней области, оставленной для магнита.

Рассмотрим теперь слой катушки, содержащийся между поверхностями 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥.

Объём этого слоя равен

𝑑𝑉

=

𝑁𝑥²

𝑑𝑥

=

𝑌²

𝑑𝑙

,

(9)

где 𝑑𝑙 - длина провода в этом слое.

Это даёт нам выражение 𝑑𝑙 через 𝑑𝑥. Подставляя его в уравнения (3) и (4), находим

𝑑𝐺

=

𝑁

𝑑𝑥

𝑌²

,

(10)

𝑑𝑅

=

𝑁

ρ

π

𝑥²𝑑𝑥

𝑌²𝑦²

,

(11)

где 𝑑𝐺 и 𝑑𝑅 представляют собой части величин 𝐺 и 𝑅, относящиеся к данному слою катушки.

Далее, если 𝐸 - заданная электродвижущая сила, то 𝐸=γ(𝑅+𝑟), где 𝑟 есть сопротивление внешней части контура, не зависящее от гальванометра; сила γ𝐺 в центре равна: γ𝐺=𝐸𝐺/(𝑅+𝑟).

Мы должны, таким образом, путём надлежащего подбора сечения провода в каждом из слоёв сделать величину 𝐺/(𝑅+𝑟) максимальной. А это с неизбежностью приводит к изменениям 𝑌, поскольку 𝑌 зависит от 𝑦.

Обозначим через 𝐺₀ и 𝑅₀ значения 𝐺 и 𝑅+𝑟 для того случая, когда данный слой исключён из вычислений. Тогда имеем

𝐺

𝑅+𝑟

=

𝐺₀+𝑑𝐺

𝑅₀+𝑑𝑅

,

(12)

и, для того чтобы путём вариации относящегося к этому слою значения 𝑦 сделать данное выражение максимальным, мы должны иметь

𝑑

⋅𝑑𝐺

𝑑𝑦

=

𝐺₀+𝑑𝐺

=

𝐺

.

𝑑

⋅𝑑𝑅

𝑅₀+𝑑𝑅

𝑅+𝑟

𝑑𝑦

(13)

Так как 𝑑𝑥 есть величина малая и в пределе исчезающая, то отношение 𝐺₀/𝑅₀ будет приближённо (а в пределе точно) одним и тем же независимо от того, какой слой исключён; следовательно, мы можем считать это отношение постоянным. Тогда, согласно (10) и (11), мы имеем

ρ

π

𝑥²

𝑦²

⎛

⎜

⎝

1+

𝑌

𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑌

⎞

⎟

⎠

=

𝑅+𝑟

𝐺

=

constant.

(14)

Если способ покрытия провода изолирующим слоем, а также способ его намотки таковы, что независимо от того, является провод толстым или тонким, между областью, заполненной металлом, и пространством между проводами соблюдается одна и та же пропорция, то

𝑌

𝑦

⋅

𝑑𝑦

𝑑𝑌

=

1,

и мы должны взять как 𝑦, так и 𝑌 пропорциональными 𝑥; иначе говоря, диаметр провода в любом слое должен быть пропорционален линейному размеру этого слоя.

Если же толщина изолирующего покрытия постоянна и равна 𝑏, а провода расположены в квадратном порядке, то

𝑌

=

2(𝑦+𝑏)

(15)

и рассматриваемое условие записывается так:

𝑥²(2𝑦+𝑦)

𝑦³

=

constant.

(16)

В этом случае диаметр провода возрастает с увеличением диаметра слоя, частью которого он является, но не в такой большой степени.

Если принять первую из этих двух гипотез, приблизительно верную в случае, когда собственно провод почти полностью заполняет всю область, то можно положить 𝑦=α𝑥, 𝑌=β𝑦, где α и β - постоянные численные величины, тогда

𝐺

=

𝑁

1

α²β²

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

-

1

𝑥

⎞

⎟

⎠

,

𝑅

=

𝑁

ρ

π

1

α⁴β²

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

-

1

𝑥

⎞

⎟

⎠

,

где постоянная 𝑎 зависит от размера и формы пустого пространства, оставшегося внутри катушки.

Следовательно, если толщину провода менять пропорционально 𝑥, мы будем получать очень небольшой выигрыш от увеличения внешнего размера катушки после того, как её внешние размеры значительно превысят внутренние.