Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Следующий шаг в нашей гипотезе состоит в предположении, что кинетическая энергия среды содержит член вида

2𝐶(

αω₁

+

βω₂

+

γω₃

).

(3)

Это эквивалентно предположению, что угловая скорость, приобретаемая элементом среды при распространении света, есть величина, которая может входить в комбинации с тем движением, которым объясняются магнитные явления.

Для того чтобы получить уравнения движения среды, мы должны выразить её кинетическую энергию через скорость её частей, составляющими которой являются ξ̇, η̇, ζ̇. Таким образом, мы интегрируем по частям и находим

2𝐶

∭

(αω₁+βω₂+γω₃)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝐶

∬

(γη̇+βζ̇)

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

+

𝐶

∬

(αζ̇+γξ̇)

𝑑𝑧

𝑑𝑥

+

𝐶

∬

(βξ̇-αη̇)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

+

+

2𝐶

∭

⎧

⎨

⎩

ξ̇

⎛

⎜

⎝

𝑑γ

𝑑𝑦

-

𝑑β

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

η̇

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑧

-

𝑑γ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

+

+

ζ̇

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑥

-

𝑑α

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(4)

Двойные интегралы относятся к ограничивающей поверхности, которую можно предполагать расположенной на бесконечном расстоянии. Поэтому мы можем при исследовании того, что имеет место внутри среды, ограничиться рассмотрением тройного интеграла.

825. Часть кинетической энергии в единице объёма, выражаемая этим тройным интегралом, может быть записана в виде

4π𝐶

(ξ̇𝑢+η̇𝑣+ζ̇𝑤)

,

(5)

где 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими электрического тока в том виде, как они даны в уравнениях (Е) п. 607.

Из этого следует, что наша гипотеза эквивалентна предположению о том, что скорость частицы среды с составляющими 𝑢̇, 𝑣̇, 𝑤̇ является величиной, которая может входить в комбинации с электрическим током, составляющие которого 𝑢, 𝑣, 𝑤.

826. Если вернуться к выражению под знаком тройного интеграла в (4), подставив вместо значений α, β, γ значения α', β', γ', данные уравнениями (1), и записать

𝑑

𝑑ℎ

вместо

α

𝑑

𝑑𝑥

+

β

𝑑

𝑑𝑦

+

γ

𝑑

𝑑𝑧

,

(6)

то выражение под знаком интеграла станет таким:

𝐶

⎧

⎨

⎩

ξ̇

𝑑

𝑑ℎ

⎛

⎜

⎝

𝑑ζ

𝑑𝑦

-

𝑑η

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

η̇

𝑑

𝑑ℎ

⎛

⎜

⎝

𝑑ξ

𝑑𝑧

-

𝑑ζ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

+

+

ζ̇

𝑑

𝑑ℎ

⎛

⎜

⎝

𝑑η

𝑑𝑥

-

𝑑ξ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

(7)

В случае волн в плоскости, нормальной к оси 𝑧, смещения являются функциями только 𝑧 и 𝑡, так что 𝑑/𝑑ℎ=γ 𝑑/𝑑𝑧, и это выражение сводится к следующему:

𝐶γ

⎛

⎜

⎝

𝑑²ξ

𝑑𝑧²

η̇

-

𝑑²η

𝑑𝑧²

ξ̇

⎞

⎟

⎠

.

(8)

Кинетическая энергия на единицу объёма постольку, поскольку она зависит от скоростей смещения, может теперь быть записана в виде

𝑇

=

1

2

ρ(ξ̇²+η̇²+ζ̇²)

+

𝐶γ

⎛

⎜

⎝

𝑑²ξ

𝑑𝑧²

η̇

-

𝑑²η

𝑑𝑧²

ξ̇

⎞

⎟

⎠

,

(9)

где ρ - плотность среды.

827. Составляющие 𝑋 и 𝑌 приложенной силы, отнесённые к единице объёма, могут быть выведены отсюда при помощи уравнений Лагранжа, п. 564. Заметим, что, опуская двойные интегралы по ограничивающей поверхности и дважды интегрируя по частям по 𝑥, можно показать, что

∭

𝑑²ξ

𝑑𝑧²

η̇

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

∭

ξ

𝑑³η

𝑑𝑧²𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Следовательно,

𝑑𝑇

𝑑ξ

𝐶γ

𝑑³η

𝑑𝑧²𝑑𝑡

.

Таким образом, выражения для сил следующие:

𝑋

=

ρ

𝑑²ξ

𝑑𝑡²

-

2𝐶γ

𝑑³η

𝑑𝑧²𝑑𝑡

,

(10)

𝑌

=

ρ

𝑑²η

𝑑𝑡²

+

2𝐶γ

𝑑³η

𝑑𝑧²𝑑𝑡

.

(11)

Эти силы возникают вследствие действия всей остальной среды на рассматриваемый элемент; в случае изотропной среды они должны иметь форму, указанную Коши:

𝑋

=

𝐴₀

𝑑²ξ

𝑑𝑧²

+

𝐴₁

𝑑⁴ξ

𝑑𝑧⁴

+ и т.д.,

(12)

𝑌

=

𝐴₀

𝑑²η

𝑑𝑧²

+

𝐴₁

𝑑⁴η

𝑑𝑧⁴

+ и т.д.

.

(13)

828. Если мы теперь возьмём случай циркулярно поляризованного луча, для которого

ξ

=

𝑟 cos(𝑛𝑡-𝑞𝑡)

,

η

=

𝑟 sin(𝑛𝑡-𝑞𝑡)

,

(14)

мы найдём для кинетической энергии в единице объёма

𝑇

=

1

2

ρ

𝑟²

𝑛²

-

𝐶γ

𝑟²

𝑞²

𝑛

(15)

и для потенциальной энергии в единице объёма

𝑉

=

1

2

𝑟²

(

𝐴₀𝑞²

+

𝐴₁𝑞⁴

+…

)

=

1

2

𝑄

,

(16)

где 𝑄 является функцией 𝑞².

Условие свободного распространения луча, данное уравнением (6) в п. 819, следующее:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

,

(17)

что даёт

ρ𝑛²

-

2𝐶γ

𝑞²

𝑛

=

𝑄

,

(18)

откуда можно найти величину 𝑛 как функцию 𝑞.

Но в случае луча с заданным волновым периодом, на который действует магнитная сила, мы должны определить величину 𝑑𝑞/𝑑γ при постоянном 𝑛, выраженную через 𝑑𝑞/𝑑𝑛 при постоянном γ. Дифференцируем (18):

(

2ρ𝑛

-

2𝐶γ

𝑞²

)

𝑑𝑛

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑄

𝑑𝑞

+

4𝐶γ

𝑞𝑛

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑞

-

2𝐶

𝑞²𝑛

𝑑γ

=

0.

(19)

Таким образом, находим

𝑑𝑞

𝑑γ

=-

𝐶𝑞²𝑛

ρ𝑛-𝐶γ𝑞²

𝑑𝑞

𝑑𝑛

.

(20)

829. Если λ - длина волны в воздухе, 𝑣 - скорость распространения в воздухе, а 𝑖 - соответствующий показатель преломления в среде, то

𝑞λ

=

2π𝑖

,

𝑛λ

=

2π𝑣

.

(21)

Изменение значения 𝑞, обусловленное магнитным действием, в каждом случае составляет чрезвычайно малую часть от его собственного значения, так что мы можем записать

𝑞

=

𝑞₀

+

𝑑𝑞

𝑑γ

γ

,

(22)

где 𝑞₀ - значение 𝑞 при равной нулю магнитной силе. Угол θ, на который поворачивается плоскость поляризации при прохождении слоя среды толщиной 𝑐, равен полусумме положительного и отрицательного значений 𝑞𝑐, причём знак результата меняется, поскольку в уравнениях (14) знак 𝑞 отрицательный. Таким образом, мы получаем

θ

=-

𝑐γ

𝑑𝑞

𝑑γ

,

(23)

=

4π²𝐶

𝑐γ

𝑖²

⎛

⎜

⎝

𝑖-λ

𝑑𝑖

⎞

⎟

⎠

1

.

𝑣ρ

λ²

𝑑λ

1-2π𝐶γ

𝑖²

𝑣ρλ

(24)

Второй член в знаменателе этой дроби примерно равен углу поворота плоскости поляризации при прохождении через слой среды с толщиной, равной половине длины волны, делённой на π. Следовательно, во всех реальных случаях это величина, которой мы можем пренебречь по сравнению с единицей.

Записав

4π²𝐶

𝑣ρ

=

𝑚

,

(25)

мы можем назвать 𝑚 коэффициентом магнитного вращения среды, величина которого должна быть определена из наблюдения. Обнаружено, что он положителен для большинства диамагнитных и отрицателен для некоторых парамагнитных сред. Мы имеем, таким образом, в качестве конечного результата нашей теории

θ

=

𝑚𝑐γ

𝑖²

λ²

⎛

⎜

⎝

𝑖-λ

𝑑𝑖

𝑑λ

⎞

⎟

⎠

,

(26)