Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Опуская промежуточные этапы и мотивировки действий, приведём систему уравнений Максвелла в её усовершенствованном представлении. Потом были предложены, возможно, более удачные (в отношении компоновки, объединения, обобщений, классификации по типам симметрии и инвариантности и т. п.) варианты записи [12], но данная форма (лишь слегка подправленная позже) остаётся и по сей день одной из наиболее употребительных:

rot 𝐇

=

4π

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

1

𝑐

∂𝐃

∂𝑡

,

(1)

rot 𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

,

(2)

div 𝐁

=

0

,

(3)

div 𝐃

=

4πρ

^𝑒

,

(4)

𝐃

=

ε𝐄

,

𝐁

=

μ𝐇

,

𝐣

^𝑒

=

σ𝐄

^𝑒

,

(5)

𝐟

_мех

=

ρ

^𝑒

𝐄

+

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐁

.

(6)

Причём даже порядок расстановки уравнений настолько прижился, что в «определённых кругах» (кастовость тут тоже регламентируется научным происхождением) часто говорят, «как следует из первого, второго и т.д. уравнения Максвелла», считая, видимо, перенумерацию отступничеством от Заветов Учителя, хотя легко усмотреть из сравнения (А) - (γ) с (1) - (6), что всё это дело рук Апостолов, а не Его самого.

Сейчас принимается такая классификация. Уравнения (1)- (4) - собственно уравнения электромагнитного поля. Уравнения (5) - материальные уравнения (в их простейшей разновидности - линейная изотропная среда с локальными и мгновенными взаимодействиями - без дисперсии). Сторонние поля 𝐄_стор могут быть включены в (5) или вставлены прямо в (1) - (4). Уравнение (6) выражает силу, действующую на свободные заряды и токи; через него осуществляется метрологическая связь с полями другой природы (механикой, гравитацией). Иногда (6) заменяется законом сохранения энергии, но тогда приходится делать оговорки, преждевременные на стадии постулирования общих законов движения.

Уравнения для полей (1) - (4) разбиваются на две пары: (1) и (4) выражают поля через их источники - электрические заряды и токи, а (2) и (3) источников не содержат, это автономная пара уравнений, определяющая связь между 𝐄 и 𝐁, причём универсально, вне зависимости от материальных соотношений и от свойств источников. Так вот, источниковые уравнения (1) и (4) написаны Максвеллом сразу в «окончательном виде», принятом потом. Это соответственно (Е) и (J). В них скрыто содержится и уравнение непрерывности для токов проводимости (или конвекции)

div 𝐣

^𝑒

+

∂ρ^𝑒

∂𝑡

=

0.

(7)

Его Максвелл не вставляет в эту совокупность, что не означает, однако, что он не относит его к числу основополагающих. Более того, отсутствие в системе (А) - (γ) уравнения непрерывности, возможно, даже обусловлено вполне последовательными доводами: Максвелл считал его более общим, так сказать, надэлектродинамическим законом природы.

Другая автономная пара (2) и (3) представлена в «Трактате» иначе. Во-первых, Максвелл ввёл в (В) проводящий контур, движущийся со скоростью и относительно других неподвижных элементов системы (среды), что позволило ему установить (так сказать, попутно, заодно) закон преобразования полей при переходе в движущуюся (инерциальную) систему отсчёта (в нерелятивистском приближении, однако). Это и есть остаточный след модели. Его легко устранить, положив 𝐮=0 (редкая ситуация, когда частный случай инициирует более общие соотношения!). Во-вторых, Максвелл не прибегнул к форме (2), (3), а как бы, опустив её (возможно, даже и не заметив этого), сразу выдал решение: уравнения (2), (3) тождественно удовлетворяются, если представить 𝐄 и 𝐁 через потенциалы 𝐀, φ, рассматриваемые пока как произвольные функции координат и времени:

𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

-

∇φ

,

𝐁

=

rot 𝐀

(8)

При 𝐮=0 (8) точно совпадает с (А) и (В). Фактически Максвелл вышел на соотношения (8) путём последовательных обобщений разных модельных ситуаций. Но тем сильнее, как нам кажется, мы должны проникнуться чувством преклонения перед таинственной силой (в смысле мощи интуиции) Великого Ума: Максвелл нашёл функциональное решение уравнений, минуя сами уравнения ¹¹, причём нашёл в самом общем виде, и вдобавок в таком, который подсказал ещё один, иной и по-иному содержательный подход к описанию электромагнитных полей вообще. Уравнения (2), (3) были явно выписаны О. Хевисайдом, и Дж. Дж. Томсон успел вставить их в примечания к 3-му изданию «Трактата» (см. примеч. к п. 598).

¹¹ Впрочем, вопрос этот не решается однозначно. В «Трактате» решения (8) и в самом деле написаны без уравнений (2), (3), однако в одной из ранних своих работ [7] Максвелл выписал второе уравнение в явиом виде, а потом почему-то отнес его к производным, а не основным уравнениям. В сборнике [15] имеется очень содержательная статья Н. Т. Маркчева, где дается сводка и сравнение всех разновидностей систем уравнений электродинамики в их исторической последовательности от трех максвелловских до многочисленных (хотя и тоже не всех) после.